理想的根

数学中的环论领域,一个理想是一个较大的理想,它约略是该理想的某种闭包。根理想是等于其自身的根的理想。

理想的根又可分为雅各布森根幂零根,前者较后者为大。

交换环的幂零根

 交换环  为其理想。该理想的幂零根  (或  )定义为

 

二项式定理可知 也是一个理想,并包含  。当取   时,相应的根即是幂零元素的集合,也称作环的幂零根,有时记为  。记   为商同态,则

 

利用局部化技巧,也可证明

 

为具体起见,考虑较简单的例子  。每个非零理想都可写成  ,此处   取遍所有素数  则是非负整数。易证

 

雅各布森根

  为环(未必交换),其雅各布森根   定义为所有单右  -模的零化子之交。对于双边理想  ,设   为商同态,定义  

雅各布森根还有诸种等价的定义。当   交换时,有下述简单的性质:

 

换言之,此即所有包含  极大理想之交。由此立见  

文献

  • David Eisenbud, Commutative Algebra with a View Toward Algebraic Geometry, Graduate Texts in Mathematics, 150, Springer-Verlag, 1995, ISBN 0-387-94268-8.