在数学中的环论领域,一个理想的根是一个较大的理想,它约略是该理想的某种闭包。根理想是等于其自身的根的理想。
理想的根又可分为雅各布森根与幂零根,前者较后者为大。
交换环的幂零根
设 为交换环, 为其理想。该理想的幂零根 (或 )定义为
- 。
由二项式定理可知 也是一个理想,并包含 。当取 时,相应的根即是幂零元素的集合,也称作环的幂零根,有时记为 。记 为商同态,则
-
利用局部化技巧,也可证明
- 。
为具体起见,考虑较简单的例子 。每个非零理想都可写成 ,此处 取遍所有素数, 则是非负整数。易证
- 。
雅各布森根
设 为环(未必交换),其雅各布森根 定义为所有单右 -模的零化子之交。对于双边理想 ,设 为商同态,定义 。
雅各布森根还有诸种等价的定义。当 交换时,有下述简单的性质:
- 。
换言之,此即所有包含 的极大理想之交。由此立见 。
文献
- David Eisenbud, Commutative Algebra with a View Toward Algebraic Geometry, Graduate Texts in Mathematics, 150, Springer-Verlag, 1995, ISBN 0-387-94268-8.