全纯域

对一个区域${\displaystyle \Omega }$ 以下条件等价：

1. ${\displaystyle \Omega }$ 是全纯域。
2. ${\displaystyle \Omega }$ 是全纯凸（英语：holomorphically convex）的。
3. ${\displaystyle \Omega }$ 是伪凸（英语：pseudoconvex）的。
4. ${\displaystyle \Omega }$ 是莱维凸——对每个解析紧曲面列${\displaystyle S_{n}\subseteq \Omega }$ ，使得${\displaystyle S_{n}\rightarrow S}$ 及${\displaystyle \partial S_{n}\rightarrow \Gamma }$ 对某集合${\displaystyle \Gamma }$ ，我们有${\displaystyle S\subseteq \Omega }$ （${\displaystyle \partial \Omega }$  不能用一个解析曲面列“从里面触碰”。）
5. ${\displaystyle \Omega }$ 有局部莱维性质——对每个点${\displaystyle x\in \partial \Omega }$ ，存在${\displaystyle x}$ 的邻域${\displaystyle U}$ ，及在${\displaystyle U\cap \Omega }$ 上全纯的${\displaystyle f}$ ，使得${\displaystyle f}$ 不能延拓到${\displaystyle x}$ 的任何邻域上。

其中关系${\displaystyle 1\Leftrightarrow 2,3\Leftrightarrow 4,1\Rightarrow 4,3\Rightarrow 5}$ 是标准结果。（${\displaystyle 1\Rightarrow 3}$ 见冈引理。）主要的困难在证明${\displaystyle 5\Rightarrow 1}$ ，即从只是局部定义的不可延拓函数，构造一个不可延拓的全局全纯函数。这个问题称为莱维问题（英语：Levi problem），以Eugenio Elia Levi（英语：Eugenio Elia Levi）命名。最先解出问题的是冈洁，之后是拉尔斯·霍尔曼德尔，用的方法包括泛函分析和偏微分方程（${\displaystyle {\bar {\partial }}}$ 问题的一个结果）。

• 若${\displaystyle \Omega _{1},\dots ,\Omega _{n}}$ 是全纯域，则其交${\displaystyle \Omega =\bigcap _{j=1}^{n}\Omega _{j}}$ 也是全纯域。
• 若${\displaystyle \Omega _{1}\subseteq \Omega _{2}\subseteq \dots }$ 是全纯域的上升列，则其并${\displaystyle \Omega =\bigcup _{n=1}^{\infty }\Omega _{n}}$ 也是全纯域。（见本克－施泰因定理（英语：Behnke-Stein theorem））
• 两个全纯域${\displaystyle \Omega _{1},\Omega _{2}}$ 的积${\displaystyle \Omega =\Omega _{1}\times \Omega _{2}}$ 是全纯域。
• 第一库赞问题（英语：Cousin problems）在全纯域内可解；若再加上一些拓扑假设，第二库赞问题也可解。

• 本克－施泰因定理（英语：Behnke-Stein theorem）
• 莱维伪凸（英语：Levi pseudoconvex）
• 施泰因流形（英语：Stein manifold）

• Steven G. Krantz. Function Theory of Several Complex Variables, AMS Chelsea Publishing, Providence, Rhode Island, 1992.
• Boris Vladimirovich Shabat, Introduction to Complex Analysis, AMS, 1992