艾森斯坦级数

数学中,艾森斯坦级数是一类可直接表成级数模形式,由费迪南·艾森斯坦首创。对于一般的约化群罗伯特·朗兰兹也发展了相应的理论。

模群的艾森斯坦级数

固定整数  。对上半平面上的复数  ,定义艾森斯坦级数  

 

此级数是上半平面上的全纯函数,此外它更是模群   的权   模形式。换言之,若   满足  ,则

 

递回关系

模形式理论中的一个基本事实是:模群   的模形式俱可表为   多项式。作为特例,以下说明如何将艾森斯坦级数递回地表成   的多项式。

 ,遂有下述关系式:

 

在此  二项式系数  

函数   可以表示魏尔斯特拉斯   函数:

 

傅立叶展开

 。由于艾森斯坦级数是模群的模形式,故有傅立叶展开式

 

其中的傅立叶系数  

 

此处的  伯努利数 黎曼ζ函数,而    的正因数 次幂和。

 
 

 ,对   之和亦可化成兰伯特级数

 

有时也会考虑常数项等于一的艾森斯坦级数:

 

拉马努金公式

拉马努金给出了许多有趣的艾森斯坦级数关系式:定义

 
 
 

则有

 
 
 

文献