模群的艾森斯坦级数
固定整数 。对上半平面上的复数 ,定义艾森斯坦级数 为
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此级数是上半平面上的全纯函数,此外它更是模群 的权 模形式。换言之,若 满足 ,则
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递回关系
模形式理论中的一个基本事实是:模群 的模形式俱可表为 与 的多项式。作为特例,以下说明如何将艾森斯坦级数递回地表成 的多项式。
置 ,遂有下述关系式:
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在此 是二项式系数而 、 。
函数 可以表示魏尔斯特拉斯 函数:
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傅立叶展开
置 。由于艾森斯坦级数是模群的模形式,故有傅立叶展开式
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其中的傅立叶系数 是
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此处的 是伯努利数, 是黎曼ζ函数,而 是 的正因数的 次幂和。
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当 ,对 之和亦可化成兰伯特级数
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有时也会考虑常数项等于一的艾森斯坦级数:
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拉马努金公式
拉马努金给出了许多有趣的艾森斯坦级数关系式:定义
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则有
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文献
- Naum Illyich Akhiezer, Elements of the Theory of Elliptic Functions, (1970) Moscow, translated into English as AMS Translations of Mathematical Monographs Volume 79 (1990) AMS, Rhode Island ISBN 0-8218-4532-2
- Tom M. Apostol, Modular Functions and Dirichlet Series in Number Theory, Second Edition (1990), Springer, New York ISBN 0-387-97127-0
- Henryk Iwaniec, Spectral Methods of Automorphic Forms, Second Edition, (2002) (Volume 53 in Graduate Studies in Mathematics), America Mathematical Society, Providence, RI ISBN 0-8218-3160-7 (See chapter 3)
- Jean-Pierre Serre, A course in arithmetic. Translated from the French. Graduate Texts in Mathematics, No. 7. Springer-Verlag, New York-Heidelberg, 1973.