循环卷积

两个函数的循环卷积是由他们的周期延伸所来定义的。周期延伸意思是把原本的函数平移某个周期 T 的整数倍后再全部加起来，所产生的新函数。${\displaystyle x(t)}$ 的周期延伸可以写成

${\displaystyle x_{T}(t)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{k=-\infty }^{\infty }x(t-kT)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }x(t+kT).}$

两个函数 ${\displaystyle x(t)}$ 与 ${\displaystyle h(t)}$ 的循环卷积 ${\displaystyle (x\otimes h)(t)}$ 可用两种互相等价的方式来定义

${\displaystyle {\begin{aligned}y(t)&=\int _{t_{o}}^{t_{o}+T}h_{T}(\tau )\cdot x_{T}(t-\tau )\,d\tau \\&=\int _{-\infty }^{\infty }h(\tau )\cdot x_{T}(t-\tau )\,d\tau \quad =\quad (x_{T}*h)(t),\end{aligned}}}$

其中 ${\displaystyle *}$ 表示原本的（线性）卷积。

类似地，对于离散信号（数列），可以定义周期 N 的循环卷积 ${\displaystyle (x\otimes h)[n]}$ 为

${\displaystyle {\begin{aligned}(x_{N}*h)[n]&=\sum _{m=-\infty }^{\infty }h[m]\cdot x_{N}[n-m]\\&=\sum _{m=-\infty }^{\infty }\left(h[m]\cdot \sum _{k=-\infty }^{\infty }x[n-m-kN]\right).\,\end{aligned}}}$

离散信号的循环卷积可以经由循环卷积定理使用快速傅里叶变换（FFT）而有效率的计算。因此，若原本的（线性）卷积能变换成循环卷积来计算，会远比直接计算更快速。考虑到长度 ${\displaystyle L}$ 和长度 ${\displaystyle M}$ 的有限长度离散信号，做卷积之后会成为长度 ${\displaystyle L+M-1}$ 的信号，因此只要把两离散信号补上适当数目的零（zero-padding）成为 N 点信号，其中  ${\displaystyle N\geq L+M-1\,}$  ，则它们的循环卷积就与卷积相等。即可接着用 N 点 FFT 作计算。

用以上方法计算卷积时，若两个信号长度相差很多，则较短者须补上相当多的零，太不经济。而且在某些情况下，例如较短的 ${\displaystyle h[n]}$ 是一个 FIR 滤波器而较长的 ${\displaystyle x[n]}$ 是未知长度的输入（像语音）时，直接用以上方法要等所有的输入都收到后才能开始算输出信号，太不方便。这时可以把 ${\displaystyle x[n]}$ 分割成许多适当长度的区块（称为 block convolution），然后一段一段的处理。经过滤波后的段落再仔细的连接起来，借由输入或输出的重叠来处理区块连接的部分。这两种做法分别称为重叠-储存之卷积法和重叠-相加之卷积法。