卷积定理

这里展示的证明是基于傅立叶变换的特定形式。如果傅里叶变换的形式不同，则推导中将会增加一些常数因子。

令f、g属于L¹(Rⁿ)。${\displaystyle F}$ 为${\displaystyle f}$ 的傅里叶变换，${\displaystyle G}$ 为${\displaystyle g}$ 的傅里叶变换：

${\displaystyle F(\nu )={\mathcal {F}}\{f\}=\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)e^{-2\pi ix\cdot \nu }\,\mathrm {d} x}$ 

${\displaystyle G(\nu )={\mathcal {F}}\{g\}=\int _{\mathbb {R} ^{n}}g(x)e^{-2\pi ix\cdot \nu }\,\mathrm {d} x,}$ 

其中x和ν之间的点表示Rⁿ上的内积。

${\displaystyle h(z)=\int \limits _{\mathbb {R} }f(x)g(z-x)\,\mathrm {d} x.}$ 

现在发现，

${\displaystyle \int \!\!\int |f(z)g(x-z)|\,dx\,dz=\int |f(z)|\int |g(z-x)|\,dx\,dz=\int |f(z)|\,\|g\|_{1}\,dz=\|f\|_{1}\|g\|_{1}.}$ 

因此，通过富比尼定理我们有${\displaystyle h\in L^{1}(\mathbb {R} ^{n})}$ ，于是它的傅里叶变换${\displaystyle H}$ 由积分式定义为

${\displaystyle {\begin{aligned}H(\nu )={\mathcal {F}}\{h\}&=\int _{\mathbb {R} }h(z)e^{-2\pi iz\cdot \nu }\,dz\\&=\int _{\mathbb {R} }\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)g(z-x)\,dx\,e^{-2\pi iz\cdot \nu }\,dz.\end{aligned}}}$ 

观察到${\displaystyle |f(x)g(z-x)e^{-2\pi iz\cdot \nu }|=|f(x)g(z-x)|}$ ，因此对以上变量我们可以再次应用富比尼定理（即交换积分顺序）：

${\displaystyle H(\nu )=\int _{\mathbb {R} }f(x)\left(\int _{\mathbb {R} ^{n}}g(z-x)e^{-2\pi iz\cdot \nu }\,dz\right)\,dx.}$ 

代入 ${\displaystyle y=z-x}$ ; ${\displaystyle dy=dz}$ 

${\displaystyle H(\nu )=\int _{\mathbb {R} }f(x)\left(\int _{\mathbb {R} }g(y)e^{-2\pi i(y+x)\cdot \nu }\,dy\right)\,dx}$ 

${\displaystyle =\int _{\mathbb {R} }f(x)e^{-2\pi ix\cdot \nu }\left(\int _{\mathbb {R} }g(y)e^{-2\pi iy\cdot \nu }\,dy\right)\,dx}$ 

${\displaystyle =\int _{\mathbb {R} }f(x)e^{-2\pi ix\cdot \nu }\,dx\int _{\mathbb {R} }g(y)e^{-2\pi iy\cdot \nu }\,dy.}$ 

这两个积分就是${\displaystyle F(\nu )}$ 和${\displaystyle G(\nu )}$ 的定义，所以：

${\displaystyle H(\nu )=F(\nu )\cdot G(\nu ),}$ 

• 卷积

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