交叉项

在线性代数中，若二次型（quadratic form）中的项并非平方项，也就是说包含超过一个变量，这个项被称为交叉项（cross-term）。

在信号处理领域中，交叉项通常指的是该项包含了两个以上的元素（信号），与之相对的则是自身项（auto-term），自身项中只包含一个元素。

通常在进行时频分析时，我们都会希望尽量避免交叉项的产生，因为交叉项会使得多个信号叠加的时频分布的图形变得难以解读，不同信号之间也会难以分离。

线性代数中的交叉项

令 $x,y\in \mathbb {R} ^{n}$ ， $n$ 是自然数，假设我们要展开 $(x+y)^{T}(x+y)$ ，则经过计算可以得到：

${\begin{aligned}(x+y)^{T}(x+y)&=x^{T}x+y^{T}x+x^{T}y+y^{T}y\\&=||x||^{2}+2(x\cdot y)+||y||^{2}\end{aligned}}$

其中 $||x||^{2}$ 和 $||y||^{2}$ 都属于自身项，因为它们分别只包含了一个变量； $2(x\cdot y)$ 则是交叉项，因为它包含了 $x$ 和 $y$ 两个元素。

韦格纳分布中的交叉项

韦格纳分布的定义如下：

$W_{x}(t,f)=\int _{-\infty }^{\infty }x(t+{\frac {\tau }{2}})x^{*}(t-{\frac {\tau }{2}})e^{-j2\pi \tau f}\cdot d\tau$

其中 $x$ 代表原始信号、 $t$ 是变换后的时间轴坐标、 $f$ 是变换后的频率轴坐标。若我们设 $x(t)=\alpha g(t)+\beta s(t)$ ，并将韦格纳分布的公式展开如下：

${\begin{aligned}W_{x}(t,f)&=\int _{-\infty }^{\infty }x(t+{\frac {\tau }{2}})x^{*}(t-{\frac {\tau }{2}})e^{-j2\pi \tau f}\cdot d\tau \\&=\int _{-\infty }^{\infty }{\big [}\alpha g(t+{\frac {\tau }{2}})+\beta s(t+{\frac {\tau }{2}}){\big ]}{\big [}\alpha ^{*}g^{*}(t-{\frac {\tau }{2}})+\beta ^{*}s^{*}(t-{\frac {\tau }{2}}){\big ]}e^{-j2\pi \tau f}\cdot d\tau \\&=\int _{-\infty }^{\infty }{\big [}|\alpha |^{2}g(t+{\frac {\tau }{2}})g^{*}(t-{\frac {\tau }{2}})+|\beta |^{2}s(t+{\frac {\tau }{2}})s^{*}(t-{\frac {\tau }{2}})\\&\quad +\alpha \beta ^{*}g(t+{\frac {\tau }{2}})s^{*}(t-{\frac {\tau }{2}})+\alpha ^{*}\beta g^{*}(t-{\frac {\tau }{2}})s(t+{\frac {\tau }{2}}){\big ]}e^{-j2\pi \tau f}\cdot d\tau \\&=|\alpha |^{2}W_{g}(t,f)+|\beta |^{2}W_{s}(t,f)\\&\quad +\int _{-\infty }^{\infty }{\big [}\alpha \beta ^{*}g(t+{\frac {\tau }{2}})s^{*}(t-{\frac {\tau }{2}})+\alpha ^{*}\beta g^{*}(t-{\frac {\tau }{2}})s(t+{\frac {\tau }{2}}){\big ]}e^{-j2\pi \tau f}\cdot d\tau \\\end{aligned}}$

其中 $W_{g}$ 和 $W_{s}$ 就是自身项，剩下的积分项就是交叉项。

参见

Jian-Jiun Ding, Time frequency analysis and wavelet transform class note, the Department of Electrical Engineering, National Taiwan University (NTU), Taipei, Taiwan, 2021.