期望
二次型的期望可表示为,[1]
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其中, 和 分别表示 的期望值 和方差-协方差矩阵, tr 为矩阵的迹。其结果仅仅取决于是否存在 和 ;并且, 的正态性不是必要条件。
关于随机变量的二次型参考书籍 [2]
证明
由于二次型是标量,所以二次型的迹就是它本身 。
由于矩阵的迹是其对角线元素之和(即矩阵元素线性组合的结果),因此服从期望的线性,有
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利用迹的可交换性,
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由期望的线性可得
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由方差的标准属性可知:
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再次应用迹的可交换性可得:
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方差
通常情况下,二次型的方差在很大程度上取决于 的分布。 然而,如果 服从多元正态分布,则二次型的方差的求解非常容易。假设 是一个对称矩阵,则有,
- [3].
事实上,这可以推广到同一向量 的两个二次型的协方差计算中 (注意, 和 必须都是对称矩阵):
- 。
不对称矩阵的方差计算
在某些参考资料中,在 为非对称矩阵情况下,也错误地得到了上述方差/协方差的结果。
在一般情况下, 可以通过下面方式得到:
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因此
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但是,这是一个二次型的对称矩阵 ,所以其均值和方差表达式相同,只是将 替换为 。
二次型举例
设有观测值的集合 和运算矩阵 ,则 的残差平方和可表示为其二次型:
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其中,矩阵 为对称和等幂的,其误差为协方差矩阵为 的高斯分布, 为自由度是 的卡方分布,参数为 ,有
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如果 在估计 时没有偏差,则参数 为零且 服从中心卡方分布。
参考文献
- ^ Douglas, Bates. Quadratic Forms of Random Variables (PDF). STAT 849 lectures. [August 21, 2011]. (原始内容存档 (PDF)于2016-03-04).
- ^ Mathai, A. M. & Provost, Serge B. Quadratic Forms in Random Variables. CRC Press. 1992: 424. ISBN 978-0824786915.
- ^ 1934-, Rencher, Alvin C.,. Linear models in statistics. Schaalje, G. Bruce., Wiley InterScience (Online service) 2nd ed. Hoboken, N.J.: Wiley-Interscience. 2008. ISBN 9780471754985. OCLC 212120778.
参看