N维随机向量 如果服从多变量正态分布,必须满足下面的三个等价条件:
- 任何线性组合 服从正态分布。
- 存在随机向量 ( 它的每个元素服从独立标准正态分布),向量 及 矩阵 满足 .
- 存在 和一个对称半正定阵 满足 的特征函数
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如果 是非奇异的,那么该分布可以由以下的概率密度函数来描述:[1]
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注意这里的 表示协方差矩阵的行列式。
- 二元的情况
在二维非奇异的情况下(k = rank(Σ) = 2),向量 [X Y]′ 的概率密度函数为:
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其中 ρ 是 X 与 Y 之间的相关系数, 且 。在这种情况下,
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