平面曲线

若一条平面曲线可表达成标准方程${\displaystyle y=f(x)\,}$ ，那么它的长度就是：

${\displaystyle \int _{a}^{b}{{\sqrt {\left[f'\left(x\right)\right]^{2}+1}}\;{\rm {d}}x}}$ 

其中${\displaystyle a\,}$ 、${\displaystyle b\,}$ 为${\displaystyle x\,}$ 的上下限。

若平面曲线可表达成参数方程${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}x=x\left(t\right)\\y=y\left(t\right)\end{matrix}}\right.}$ ，那么它的长度就是：

${\displaystyle \int _{\alpha }^{\beta }{{\sqrt {\left({x'}\right)^{2}+\left({y'}\right)^{2}}}{\rm {d}}t}}$ 

其中${\displaystyle \alpha \,}$ 、${\displaystyle \beta \,}$ 为${\displaystyle t\,}$ 的上下限。