柱谐函数

本征方程的推导

柱坐标下的拉普拉斯方程为：

${\displaystyle \nabla ^{2}V={\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial }{\partial \rho }}\left(\rho {\frac {\partial V}{\partial \rho }}\right)+{\frac {1}{\rho ^{2}}}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial \varphi ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial z^{2}}}=0}$ 

使用分离变量法，设：

${\displaystyle V=P(\rho )\,\Phi (\varphi )\,Z(z)}$ 

代入拉普拉斯方程，得到：

${\displaystyle {\frac {\Phi Z}{\rho }}{\frac {d}{d\rho }}(\rho {\frac {dP}{d\rho }})+{\frac {PZ}{\rho ^{2}}}{\frac {d^{2}\Phi }{d\varphi ^{2}}}+P\Phi {\frac {d^{2}Z}{dz^{2}}}=0}$ 

分离变量后，可以写成：

${\displaystyle {\begin{cases}{\frac {1}{P\rho }}{\frac {d}{d\rho }}(\rho {\frac {dP}{d\rho }})+{\frac {1}{\rho ^{2}}}\,(-n^{2})+k^{2}=0\\{\frac {1}{\Phi }}(d^{2}\Phi /d\varphi ^{2})=-n^{2}\\{\frac {1}{Z}}(d^{2}Z/dz^{2})=k^{2}\end{cases}}}$ ，整理得 ${\displaystyle {\begin{cases}\rho ^{2}P''+\rho P'+(k^{2}\rho ^{2}-n^{2})P=0\\\Phi ''+n^{2}\Phi =0\\Z''-k^{2}Z=0\end{cases}}}$ 

本征方程的求解

这里，${\displaystyle \Phi }$ 是一个以${\displaystyle 2\pi }$ 为周期的函数，即满足周期性边界条件${\displaystyle \Phi (\varphi )=\Phi (\varphi +2\pi )}$ ，因此${\displaystyle n}$ 必须为非负整数。可以解出：

${\displaystyle \Phi _{n}=\{\cos(n\varphi ),\sin(n\varphi )\}}$ ，${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ 

或，等价地：

${\displaystyle \Phi _{n}=\{e^{in\varphi },e^{-in\varphi }\}}$ ，${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ 

这里，花括符表示，两个解是简并的。即对于一个n，方程有两个线性无关的解（n=0时除外）。

对于${\displaystyle Z}$ 的方程，${\displaystyle k}$ 可以是任意一个复数。对于一个特定的${\displaystyle k}$ ，方程有两个线性无关的解。

若k是一个实数，则：

${\displaystyle Z_{k}=\{\cosh(kz),\sinh(kz)\}}$ 

或，等价地：

${\displaystyle Z_{k}=\{e^{kz},e^{-kz}\}}$ 

若k是一个纯虚数，则：

${\displaystyle Z_{k}=\{\cos(|k|z),\sin(|k|z)\}}$ 

或，等价地：

${\displaystyle Z_{k}=\{e^{i|k|z},e^{-i|k|z}\}}$ 

对于周期性边界条件，k取分立值；对于非周期性边界条件，k取连续值。

而${\displaystyle P}$ 的方程则是一个贝塞尔方程，它的解${\displaystyle P_{n,k}}$ 形式如下。

若${\displaystyle k=0}$ ，则该方程简化为一个欧拉方程：

${\displaystyle P_{0,0}=\{1,\ln \rho \}}$ 

${\displaystyle P_{n,0}=\{\rho ^{n},\rho ^{-n}\},n\neq 0}$ 

若${\displaystyle k}$ 是一个非零实数，则方程的解为第一类和/或第二类贝塞尔函数：

${\displaystyle P_{n,k}=\{J_{n}(k\rho ),Y_{n}(k\rho )\}}$ 

若k是一个纯虚数，则方程的解为修正贝塞尔函数：

${\displaystyle P_{n,k}=\{I_{n}(|k|\rho ),K_{n}(|k|\rho )\}}$ 

最终，柱谐函数可以表达为以上三个函数的乘积，${\displaystyle V_{n,k}=P_{n,k}\Phi _{n}Z_{k}}$ 。

正交完备性

柱谐函数是正交完备的。正交性是指：

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }d\rho \int _{0}^{2\pi }d\varphi \int _{-\infty }^{\infty }dz\left[V_{n,k}(\rho ,\theta ,\varphi )V_{n',k'}(\rho ,\theta ,\varphi )\right]={\frac {1}{C_{n,k}^{2}}}\,\delta _{n,n'}\,\delta _{k,k'}}$ 

其中，${\displaystyle \delta _{n,n'}}$ 和${\displaystyle \delta _{k,k'}}$ 为克罗内克符号，${\displaystyle C_{n,k}}$ 为归一化系数。

完备性是指，对于柱坐标下的任何一个拉普拉斯方程的解均可以写成若干个柱谐函数的线性叠加。

${\displaystyle V(\rho ,\varphi ,z)=\sum _{n,k}A_{n,k}V_{n,k}}$  ，k取分立值

${\displaystyle V(\rho ,\varphi ,z)=\sum _{n}\int dk\,A_{n}(k)V_{n,k}}$  ，k取连续值

• 贝塞尔函数
• 球谐函数