分离变量法

假若，一个常微分方程可以写为

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}f(x)=g(x)[h(f(x))]}$  。

设定变量 ${\displaystyle y=f(x)}$  。那么，

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=g(x)h(y)}$  ．(1)

只要是 ${\displaystyle h(y)\neq 0}$  ，就可以将方程式两边都除以 ${\displaystyle h(y)}$  ，再都乘以 ${\displaystyle dx}$  ：

${\displaystyle {dy \over h(y)}={g(x)dx}}$  。

这样，可以将两个变量 ${\displaystyle x}$  ，${\displaystyle y}$  分离到方程式的两边。由于任何一边的表达式跟另外一边的变量无关，表达式恒等于常数 ${\displaystyle k}$  。因此，可以得到两个较易解的常微分方程；

${\displaystyle \int {dy \over h(y)}=\int {g(x)dx}=k}$  。

第二种方法

有些不喜欢用莱布尼茨标记（英语：Leibniz's notation）的数学家，或许会选择将公式 (1) 写为

${\displaystyle {\frac {1}{h(y)}}{\frac {dy}{dx}}=g(x)}$  。

这写法有一个问题：无法比较明显的解释，为什么这方法叫作分离变量法？

随着 ${\displaystyle x}$  积分公式的两边，可以得到

${\displaystyle \int {\frac {1}{h(y)}}{\frac {dy}{dx}}\,dx=\int g(x)\,dx}$  。(2)

应用变量积分法，

${\displaystyle \int {\frac {1}{h(y)}}\,dy=\int g(x)\,dx}$  。

假如，可以求算这两个积分，则这常微分方程有解。这方法允许将导数 ${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}}$  当做可分的分式看待，可以较方便的解析可分的常微分方程。这在实例 (II)的解析里会有更详细的解释，

实例 (I)

常微分方程式 ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}f(x)=f(x)(1-f(x))}$  可以写为

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=y(1-y)}$  ；(3)

其中，${\displaystyle y=f(x)}$  。

设定 ${\displaystyle g(x)=1}$  ，${\displaystyle h(y)=y(1-y)}$  。套用公式 (1) ，这常微分方程式是可分的。

进一步编排，则

${\displaystyle {\frac {dy}{y(1-y)}}=dx}$  。

变量 ${\displaystyle x}$  ，${\displaystyle y}$  分别在公式的两边。将两边积分，

${\displaystyle \int {\frac {dy}{y(1-y)}}=\int dx}$  。

积分的结果是

${\displaystyle \ln |y|-\ln |1-y|=x+C}$  ；

其中，${\displaystyle C}$  是个积分常数。稍加运算，则可得

${\displaystyle y={\frac {1}{1+Be^{-x}}}}$  。

在这里，检查此解答的正确与否。计算导数 ${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}}$  。答案应该与原本的问题相同。（必须仔细地计算绝对值。绝对符号内不同的正负值，分别地造成了 ${\displaystyle B}$  的正值与负值。而当 ${\displaystyle y=1}$  时，${\displaystyle B=0}$  ）。

特别注意，由于将公式 (3) 的两边除以 ${\displaystyle y}$  跟 ${\displaystyle (1-y)}$  ，必须检查两个函数 ${\displaystyle y(x)=0}$  与 ${\displaystyle y(x)=1}$  是否也是常微分方程式的解答（在这个例子里，它们都是解答）。参阅奇异解（英语：singular solution） 。

实例 (II)

人口数值的成长时常能够用常微分方程来表达

${\displaystyle {\frac {dP}{dt}}=kP\left(1-{\frac {P}{K}}\right)}$  ；

其中，${\displaystyle P}$  是人口数值函数，${\displaystyle t}$  是时间参数， ${\displaystyle k}$  是成长的速率，${\displaystyle K}$  环境的容纳能力。

将方程式的两边都除以${\displaystyle P\left(1-{\frac {P}{K}}\right)}$  ．再随着时间 ${\displaystyle t}$  积分，

${\displaystyle \int {\frac {1}{P\left(1-{\frac {P}{K}}\right)}}{\frac {dp}{dt}}\,dt=\int k\,dt}$  。

应用变量积分法，

${\displaystyle \int {\frac {dP}{P\left(1-{\frac {P}{K}}\right)}}=\int k\,dt}$  。

稍微运算，则可得

${\displaystyle P(t)={\frac {K}{1+Ae^{-kt}}}}$  ；

其中，${\displaystyle A}$  是常数。

给予一个 ${\displaystyle n}$  元函数 ${\displaystyle F(x_{1},\ x_{2},\ \dots ,\ x_{n})}$  的偏微分方程，有时候，为了将问题的偏微分方程式改变为一组常微分方程，可以猜想一个解答；解答的形式为

${\displaystyle F=F_{1}(x_{1})F_{2}(x_{2})\cdots F_{n}(x_{n})}$  ，

或者

${\displaystyle F=f_{1}(x_{1})+f_{2}(x_{2})+\cdots +f_{n}(x_{n})}$  。

时常，对于每一个自变量 ${\displaystyle x_{i}}$  ，都会伴随着一个分离常数。如果，这个方法成功，则称这偏微分方程为可分偏微分方程 (separable partial differential equation)。

实例 (III)

假若，函数 ${\displaystyle F(x,\ y,\ z)}$  的偏微分方程为

${\displaystyle {\frac {\partial F}{\partial x}}+{\frac {\partial F}{\partial y}}+{\frac {\partial F}{\partial z}}=0}$  。

猜想解答为

${\displaystyle F(x,y,z)=X(x)+Y(y)+Z(z)}$  。

那么，

${\displaystyle {\frac {dX}{dx}}+{\frac {dY}{dy}}+{\frac {dZ}{dz}}=0}$  。

因为 ${\displaystyle X(x)}$  只含有 ${\displaystyle x}$  、${\displaystyle Y(y)}$  只含有 ${\displaystyle y}$  、${\displaystyle Z(z)}$  只含有 ${\displaystyle z}$  ，这三个函数的导数都分别必须等于常数。更明确地说，将一个偏微分方程改变为三个很简单的常微分方程：

${\displaystyle {\frac {dX}{dx}}=c_{1}}$  、

${\displaystyle {\frac {dY}{dy}}=c_{2}}$  、

${\displaystyle {\frac {dZ}{dz}}=c_{3}}$  ；

其中，${\displaystyle c_{1},\ c_{2},\ c_{3}}$  都是常数，${\displaystyle c_{1}+c_{2}+c_{3}=0}$  。

偏微分方程的答案为

${\displaystyle F(x,y,z)=c_{1}x+c_{2}y+c_{3}z+c_{4}}$  ；

其中，${\displaystyle c_{4}}$  是常数。

实例 (IV)

思考一个典型的偏微分方程，

${\displaystyle \nabla ^{2}v+\lambda v={\partial ^{2}v \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2}v \over \partial y^{2}}+\lambda v=0}$  。

首先，猜想答案的形式为

${\displaystyle v=X(x)Y(y)}$  。

代入偏微分方程，

${\displaystyle {\partial ^{2} \over \partial x^{2}}[X(x)Y(y)]+{\partial ^{2} \over \partial y^{2}}[X(x)Y(y)]+\lambda X(x)Y(y)=0}$  。

或者，用单撇号标记，

${\displaystyle X''(x)Y(y)+X(x)Y''(y)+\lambda X(x)Y(y)=0}$  。

将方程式的两边除以 ${\displaystyle X(x)Y(y)}$  ，则可得

${\displaystyle {X''(x) \over X(x)}=-{Y''(y)+\lambda Y(y) \over Y(y)}}$  。

由于任何一边的表达式跟另外一边的变量无关，表达式恒等于常数 ${\displaystyle k}$  ：

${\displaystyle {X''(x) \over X(x)}=k=-{Y''(y)+\lambda Y(y) \over Y(y)}}$  。

因此，可以得到两个新的常微分方程式：

${\displaystyle X''(x)-kX(x)=0}$  、

${\displaystyle Y''(y)+(\lambda +k)Y(y)=0}$  。

这两个常微分方程式都是齐次的二阶线性微分方程。假若，${\displaystyle k<0<\lambda +k}$  ，则这两个常微分方程都是用来表达谐振问题的方程式。解答为

${\displaystyle X(x)=A_{x}\cos({\sqrt {-k}}\ x+B_{x})}$  ，

${\displaystyle Y(y)=A_{y}\cos({\sqrt {\lambda +k}}\ y+B_{y})}$  ；

其中，${\displaystyle A_{x},\ A_{y}}$  是振幅常数，${\displaystyle B_{x},\ B_{y}}$  是相位常数。这些常数可以由边界条件求得。

• 拉普拉斯-龙格-冷次向量
• 哈密顿-雅可比方程
• 亥姆霍兹方程

• A. D. Polyanin, Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists, Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2002. ISBN 1-58488-299-9。