谐振子

简谐振子没有驱动力，也没有摩擦（阻尼），所以合力单纯为：

${\displaystyle F=-kx\,}$ 

利用牛顿第二定律

${\displaystyle F=ma=-kx\,}$ 

则加速度${\displaystyle a}$ 等于是${\displaystyle x}$ 的二次微分导数：

${\displaystyle m{\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}=-kx}$ 

若定义${\displaystyle {\omega _{0}}^{2}=k/m}$ ，则方程可以写为如下：

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}+{\omega _{0}}^{2}x=0}$ 

可以观察到：

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}={\ddot {x}}={\frac {\mathrm {d} {\dot {x}}}{\mathrm {d} t}}{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} x}}={\frac {\mathrm {d} {\dot {x}}}{\mathrm {d} x}}{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} {\dot {x}}}{\mathrm {d} x}}{\dot {x}}}$ 

然后代回原式得到

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} {\dot {x}}}{\mathrm {d} x}}{\dot {x}}+{\omega _{0}}^{2}x=0}$ 

${\displaystyle \mathrm {d} {\dot {x}}\cdot {\dot {x}}+{\omega _{0}}^{2}x\cdot \mathrm {d} x=0}$ 

积分可得

${\displaystyle {\dot {x}}^{2}+{\omega _{0}}^{2}x^{2}=K}$ 

其中K是积分常数，设K = (A ω₀)²

${\displaystyle {\dot {x}}^{2}=A^{2}{\omega _{0}}^{2}-{\omega _{0}}^{2}x^{2}}$ 

${\displaystyle {\dot {x}}=\pm {\omega _{0}}{\sqrt {A^{2}-x^{2}}}}$ 

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} x}{\pm {\sqrt {A^{2}-x^{2}}}}}={\omega _{0}}\mathrm {d} t}$ 

经过积分，结果（包括积分常数φ）为

${\displaystyle {\begin{cases}\arcsin {\frac {x}{A}}=\omega _{0}t+\phi \\\arccos {\frac {x}{A}}=\omega _{0}t+\phi \end{cases}}}$ 

并有一般解

${\displaystyle x=A\cos {(\omega _{0}t+\phi )}\,}$ 

其中振幅${\displaystyle A\,}$ 以及相位${\displaystyle \phi \,}$ 可透过初始条件来决定。

另外也可以将一般解写成

${\displaystyle x=A\sin {(\omega _{0}t+\phi )}\,}$ 

其中${\displaystyle \phi \,}$ 的值与前面形式相比，偏移了${\displaystyle \pi /2\,}$ ；

又可以写作

${\displaystyle x=A\sin {\omega _{0}t}+B\cos {\omega _{0}t}\,}$ 

其中${\displaystyle A\,}$ 与${\displaystyle B\,}$ 为透过初始条件决定的常数，以替代前面形式的${\displaystyle A\,}$ 与${\displaystyle \phi \,}$ 。

振动频率则为

${\displaystyle f={\frac {\omega _{0}}{2\pi }}}$ 

动能为

${\displaystyle T={\frac {1}{2}}m\left({\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}\right)^{2}={\frac {1}{2}}kA^{2}\sin ^{2}(\omega _{0}t+\phi )}$ .

以及势能（势能）为

${\displaystyle U={\frac {1}{2}}kx^{2}={\frac {1}{2}}kA^{2}\cos ^{2}(\omega _{0}t+\phi )}$ 

所以系统总能为定值：

${\displaystyle E={\frac {1}{2}}kA^{2}}$ 

一受驱谐振子满足如下非齐次（nonhomogeneous）二阶线性微分方程

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}+{\omega _{0}}^{2}x=A_{0}\cos(\omega t)}$ ，

其中${\displaystyle A_{0}}$ 是驱动振幅而${\displaystyle \omega }$ 是驱动频率，针对的是一弦波式的驱动机制。这样的系统出现在交流LC（电感L-电容C）电路以及理想化的弹簧系统（没有内部力学阻力或外部的空气阻力）。

一阻尼谐振子满足如下二阶微分方程

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}+{\frac {b}{m}}{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}+{\omega _{0}}^{2}x=0}$ ，

其中${\displaystyle b}$ 是由实验决定的阻尼常数，满足关系式${\displaystyle F=-bv}$ 。遵守此方程的系统，其中一例为置于水中的加权弹簧（weighted spring），若假设水所施的阻尼力与速度${\displaystyle v}$ 呈线性比例关系。

阻尼谐振子的频率为

${\displaystyle \omega _{1}={\sqrt {\omega _{0}^{2}-R_{m}^{2}}}}$ 

其中

${\displaystyle R_{m}={\frac {b}{2m}}}$ 。

受驱阻尼振子满足方程

${\displaystyle m{\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}+r{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}+kx=F_{0}\cos(\omega t)}$ 。

其一般解为两个解的和，一为暂态解（无驱动阻尼谐振子之齐次常微分方程的解），与初始条件相关；另一为稳态解（非齐次常微分方程之特殊解），与初始条件无关，只与驱动频率、驱动力、阻尼力有关。

稳态解为

${\displaystyle x(t)={\frac {F_{0}}{Z_{m}\omega }}\sin(\omega t-\phi )}$ 

其中

${\displaystyle Z_{m}={\sqrt {r^{2}+\left(\omega m-{\frac {k}{\omega }}\right)^{2}}}}$ 

为阻抗（impedance）或线性响应函数（linear response function）之绝对值

${\displaystyle Z=r+i\left(\omega m-{\frac {k}{\omega }}\right)}$ 

而

${\displaystyle \phi =\arctan \left({\frac {\omega m-{\frac {k}{\omega }}}{r}}\right)}$ 

为相对于驱动力（相位定为0）的振动相位。

可以观察到，当在某特定驱动频率${\displaystyle \omega }$ 时，振子振动之振幅（相对于一给定之${\displaystyle F_{0}}$ ）达到最大。这发生在频率为

${\displaystyle {\omega }_{r}={\sqrt {{\frac {k}{m}}-2\left({\frac {r}{2m}}\right)^{2}}}}$ 

之时，而此现象称之为（位移上的）共振。

总结来说，在稳态时，振动频率等同于驱动力的频率，但振动与驱动力在相位上有偏移；且振幅大小与驱动频率相关，当驱动频率与振动系统偏好（共振）频率相同时，振幅达到最大。

例子：RLC电路；电阻类比于阻尼。

多数谐振子，至少近似上地说，是在解以下的微分方程：

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}+{\frac {b}{m}}{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}+{\omega _{0}}^{2}x=A_{0}\cos(\omega t)}$ 

其中t是时间，b是阻尼常数，ω_o是本征角频率，而A_ocos(ωt)代表驱动系统的某种事物，其振幅A_o而角频率ω。x是进行振荡的被测量量；可以是位置、电流或其他任何可能的物理量。角频率与频率f有关，关系式为

${\displaystyle f={\frac {\omega }{2\pi }}}$ 。

重要项

• 振幅：偏离平衡点的最大的位移量。
• 周期：系统完成一个振荡循环所需的时间，为频率的倒数。
• 频率：单位时间内系统执行的循环总数量（通常以赫兹 = 1/秒为量度）。
• 角频率：${\displaystyle \omega =2\pi f}$ 
• 相位：系统完成了循环的多少（开始时，系统的相位为零；完成了循环的一半时，系统的相位为${\displaystyle \pi }$ ）。
• 初始条件：t = 0时系统的状态。