可分离变量的偏微分方程

可分离变量的偏微分方程（PDE）是指一种偏微分方程，在求解时可以用分离变量法分离为一组阶数较低的微分方程。这一般是因为偏微分方程满足某种形式或是对称。因此可以利用求解一组较简单的偏微分方程来求解原问题，若可以简化为一维的问题，甚至可以用变成常微分方程。

分离变量法最常见的形式是其解可以假设为几个函数的积，而每个函数只有一个自变量。例如给予一个 $n$ 元函数 $F(x_{1},\ x_{2},\ \dots ,\ x_{n})$ 的偏微分方程，猜想解答的形式为

F=F_{1}(x_{1})F_{2}(x_{2})\cdots F_{n}(x_{n})

。

这是一种特别的分离变量法，称为 $R$ -分离变量法，此方式是将解写成和坐标有关的固定函数，以及以各坐标为自变量函数的乘积。 ${\mathbb {R} }^{n}$ 上的拉普拉斯方程是一个可以用 $R$ -分离变量法求解的偏微分方程的例子，在三维空间下会用六维球面坐标变换（英语：6-sphere coordinates）来求解。

偏微分方程的分离变量法和常微分方程的分离变量法不同，后者是指问题可以变成二个积分相等的形式。

范例

例如，考虑非时变的薛定谔方程

[-\nabla ^{2}+V(\mathbf {x} )]\psi (\mathbf {x} )=E\psi (\mathbf {x} )

针对函数 $\psi (\mathbf {x} )$ （为简化问题，其为无因次量）（等效的作法是考虑非齐次的亥姆霍兹方程）。若三维函数 $V(\mathbf {x} )$ 形式如下

V(x_{1},x_{2},x_{3})=V_{1}(x_{1})+V_{2}(x_{2})+V_{3}(x_{3}),

则此问题可以分解为三个一维的常微分方程，函数分别是 $\psi _{1}(x_{1})$ 、 $\psi _{2}(x_{2})$ 及 $\psi _{3}(x_{3})$ ，最后的解可以写成 $\psi (\mathbf {x} )=\psi _{1}(x_{1})\cdot \psi _{2}(x_{2})\cdot \psi _{3}(x_{3})$ 。（薛定谔方程中可以分离变量求解的例子已由艾森哈特（Eisenhart）在1948年列举^[1]）。

参考资料

^ L. P. Eisenhart, "Enumeration of potentials for which one-particle Schrodinger equations are separable," Phys. Rev. 74, 87-89 (1948).

[1] L. P. Eisenhart, "Enumeration of potentials for which one-particle Schrodinger equations are separable," Phys. Rev. 74, 87-89 (1948).

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