顶点 (几何)

在几何学中，顶点是2条或以上的边、超边、线、线段或曲线等数学对象的交会点。在这个定义之下，多面体或多边形中由2条边或棱所交出的角或顶角其端点称为一个顶点[1]。在抽象几何学（英语：Abstract_polytope）中，顶点是抽象多胞形中的0维元素。[2]

定义

角的顶点

 
角的顶点是两条射线或线段的公共端点

角是由两条有公共端点的射线组成的几何对象。这两条射线叫做角的边，它们的公共端点叫做角的顶点[3]。角的顶点也可以是下列定义的其中之一：

  • 2条射线的起始点或交点
  • 2条线段的连接或交点
  • 2条直线的交点

简而言之任何直线、线段或射线的组合，其结果中包含两条直的二元边交于一点者，该点称为顶点[4]

多胞形的顶点

顶点是多边形、多面体或其他高维多胞体的角之端点。为几何结构的边、面或维面相交形成的交点。[4]而包含该顶点的组成之数学对象整体称为一个顶角，其在英语中皆称为Vertex，而顶点图（Vertex figure）探讨的则为顶角的特性，而非只探讨顶点本身。[5]

在多边形中，若一个顶点对应到的顶角，其内角小于180度则称该顶点为凸顶点，否则为凹顶点。[6]更一般地，如果一个n维几何体的其中一个顶点可以使这个几何体与位于这个顶点上之充分地小的n维球体相交的话，则这个顶点为凸顶点[7]。

多胞形的顶点可以对应到图论中的顶点，因为任何多胞形皆可以找到一个对应的边与顶点的图（英语：n-skeleton）[8]，而这个几何对象正是图论中的一种数学对象，其顶点可以对应于原始多胞形中的顶点[9]，而这个图可以被视为一维单纯复形，其顶点正是一个图顶点。然而，在图论中，顶点有可能少于两条边（如自环），而在几何中无法存在这种顶角。几何顶点和曲线的顶点之间也有关联。曲线的顶点通常代表曲线的局部极值[10]，在某种意义上，多边形的顶点是无限曲率的点，并且若用平滑曲线来近似一个多边形，则在多边形的每个顶点附近将存在极端曲率的点。[11]

多面体的顶点

在多面体中，顶点是多面体中3个或以上的面的交会点。一般情况下，多面体顶点的数量可透过欧拉特征数计算得出。任何凸多面体表面的欧拉特征皆符合下列等式：

 

其中V是顶点数、E是边数、F是面数。这个等式称为欧拉恒等式[12]，由此可知，边的数量恒比顶点和面的数量的总和小2。例如，立方体有12条边和6个面，因此根据欧拉恒等式可以得到有立方体有8个顶点。

平面镶嵌的顶点

平面镶嵌的顶点是三个过更多个镶嵌元素（即拼出平面镶嵌的单个几何图形）的交会点[13]。平面镶嵌通常由多边形组成，且平面镶嵌的顶点同时也是多边形的顶点，然而有例外存在。

 
多边形的顶点同时也是平面
镶嵌的顶点之例子 		 
其中一个反例

主顶点

 
绿色的顶点是一个主顶点，因为其相邻顶点的对角线（绿色虚线）没有与多边形的边界相交；然而红色的顶点相邻顶点的对角线（红色虚线）与多边形边界相交，因此红色的顶点并非多边形的主顶点
 
主顶点B是一个耳顶点，其对角线CD位于多边形内部；而主顶点C是一个嘴顶点，其对角线AB位于多边形外部

在多边形中，主顶点（Principal Vertex）是指多边形中的一个顶点，该顶点相邻两顶点的对角线不与多边形边界相交。更正式的定义如下：有一个简单多边形P，其有顶点 {x1, x2, ..., xp-1, xp} ，其中xp+1=x1使多边形P为封闭结构。在多边形P中，若存在一个顶点xi使得多边形P的对角线 [x(i − 1), x(i + 1)] 仅在x(i − 1)点与x(i + 1)点上与P的边界相交，则称顶点xi为该多边形的主顶点。 主顶点可以分成两种类型：耳顶点和嘴顶点。[14]

耳顶点

若一主顶点对应的对角线位于多边形内部，则这个顶点称为耳顶点。根据双耳定理（英语：Two ears theorem），任何简单多边形都至少会有2个耳顶点。[15]

嘴顶点

若一主顶点对应的对角线位于多边形外部，则这个顶点称为嘴顶点。[16]

计算机图形学

主条目：顶点 (电脑图学)

 
图中的顶点包含了颜色资讯，分别为红、绿、蓝，通过渲染流程后会输出一个渐变色彩的三角形

在计算机图形学中，三维几何结构（在计算机图形学一般称为三维模型）通常会表示为以三角形构成的多面体，其中，顶点所包含的资讯不像几何学中只含有坐标资讯，而会额外地包含其渲染所需的资讯，如颜色、反射特性、纹理和表面法线等[17]。这些顶点的属性会输入到顶点着色器，进而开始计算机图形学的渲染流程。

分子构型

在描述分子中原子的三维排列方式的分子构型中[18]，位于对应几何结构顶点的原子也称为顶点[19][18]。

 
八面体形分子构型由一个中心原子和6个顶点原子组成

参见

参考文献

  1. ^ Weisstein, Eric W. (编). Vertex. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）. 
  2. ^ McMullen, Peter; Schulte, Egon, Abstract Regular Polytopes 1st, Cambridge University Press, December 2002, ISBN 0-521-81496-0 
  3. ^ Sidorov, L. A., Angle, Hazewinkel, Michiel (编), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 
  4. ^ 4.0 4.1 Heath, Thomas L. The Thirteen Books of Euclid's Elements 2nd ed. [Facsimile. Original publication: Cambridge University Press, 1925]. New York: Dover Publications. 1956. 
    (3 vols.): ISBN 0-486-60088-2 (vol. 1), ISBN 0-486-60089-0 (vol. 2), ISBN 0-486-60090-4 (vol. 3).
  5. ^ Olshevsky, George, Vertex figure at Glossary for Hyperspace.
  6. ^ Jing, Lanru; Stephansson, Ove. Fundamentals of Discrete Element Methods for Rock Engineering: Theory and Applications. Elsevier Science. 2007. 
  7. ^ Gruber, P.M. Convex and Discrete Geometry. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Springer Berlin Heidelberg. 2007. ISBN 9783540711339. LCCN 2007922936. 
  8. ^ Senechal, Marjorie, Shaping Space: Exploring Polyhedra in Nature, Art, and the Geometrical Imagination, Springer: 81, 2013 [2019-09-15], ISBN 9780387927145, （原始内容存档于2014-01-07） .
  9. ^ Peter McMullen, Egon Schulte, Abstract Regular Polytopes, Cambridge University Press, 2002. ISBN 0-521-81496-0 (Page 29)
  10. ^ Gibson, C. G., Elementary Geometry of Differentiable Curves: An Undergraduate Introduction, Cambridge University Press: p. 127, 2001, ISBN 9780521011075 
  11. ^ Bobenko, Alexander I.; Schröder, Peter; Sullivan, John M.; Ziegler, Günter M. Discrete differential geometry. Birkhäuser Verlag AG. 2008. ISBN 978-3-7643-8620-7. 
  12. ^ Richeson, David S.; Euler's Gem: The Polyhedron Formula and the Birth of Topology. Princeton University Press 2008.
  13. ^ M.V. Jaric, ed, Introduction to the Mathematics of Quasicrystals (Aperiodicity and Order, Vol 2) ISBN 0-12-040602-0, Academic Press, 1989
  14. ^ Introduction to Ear Cutting for Simple Polygons. McGill School Of Computer Science, McGill University. [2019-09-15]. （原始内容存档于2021-02-07）. 
  15. ^ Meisters, G. H., Polygons have ears, The American Mathematical Monthly, 1975, 82: 648–651, MR 0367792, doi:10.2307/2319703 .
  16. ^ Toussaint, Godfried, Anthropomorphic polygons, American Mathematical Monthly, 1991, 98 (1): 31–35, MR 1083611, doi:10.2307/2324033 .
  17. ^ Christen, Martin. Clockworkcoders Tutorials: Vertex Attributes. Khronos Group. [26 January 2009]. （原始内容存档于2019-04-12）. 
  18. ^ 18.0 18.1 Von Zelewsky, A. Stereochemistry of Coordination Compounds. Chichester: John Wiley. 1995. ISBN 0-471-95599-X. 
  19. ^ D. L. Kepert. Aspects of the Stereochemistry of Eight-Coordination. Progress in Inorganic Chemistry. 1978, 24: 179–249. doi:10.1002/9780470166253.ch4. 

外部链接