倒角 (几何)

在几何学中，倒角是一种将棱替换为维面的操作，也可以视为切棱（又称裁边或截边）操作的一种[1]。

立方体与切棱深度不同的倒角立方体
倒角正多面体

特性

对多面体进行倒角操作之后会使多面体中原有的棱转变成六边形面。在康威多面体表示法中，倒角用c表示，并且会使原有有e条棱的多面体产生2e个新顶点、3e条新棱和e个新的六边形面[2][3]。

倒角多面体

倒角多面体又称切棱多面体，是指多面体套用倒角变换后形成的立体图形。宫崎兴二、石井源久将这类立体称为切棱多面体[4]。若将倒角视为将多面体的棱切除则如同截角一样根据不同的裁切深度会形成不一样的立体图形，其可以分为小切棱、中切棱和大切棱，大切棱又称最大切棱，其代表着切去棱并切至原本的面消失的情况[5]

倒角正多面体

较常被探讨的倒角多面体为凸正多面体套用倒角变换后的像[6][7]，其中，倒角四面体[8]、倒角立方体[9]和倒角十二面体[10]在一些与富勒烯相关的研究被探讨过。[9]

原像    
正四面体 		 
立方体 		 
正八面体 		 
正十二面体 		 
正二十面体
倒角    
倒角四面体 		 
倒角立方体 		 
倒角八面体 		 
倒角十二面体 		 
倒角二十面体

考虑到倒角利用不同深度的切棱操作完成时，可以多产生菱形十二面体、菱形三十面体等立体。[11]

正四面体 立方体 正八面体 正十二面体 正二十面体
         
小切棱          
中切棱          
大切棱          
立方体 菱形十二面体 菱形十二面体 菱形三十面体 菱形三十面体
其他倒角多面体
原像  
大十二面体 		 
小星形十二面体 		 
大二十面体 		 
大星形十二面体
倒角        
其他倒角镶嵌图
正镶嵌图和部分均匀镶嵌图的倒角
 
正方形镶嵌 		 
正三角形镶嵌 		 
正六边形镶嵌 		 
菱形镶嵌
       
倒角正方形镶嵌（英语：Chamfered square tiling）[12][13] 倒角三角形镶嵌 倒角六边形镶嵌 倒角菱形镶嵌

与戈德堡多面体的关系

迭代多次倒角变换可以产生面数更多的多面体，每一次的倒角变换都会产生新的六边形面，且若原本的多面体是戈德堡多面体，则倒角变换会使戈德堡符号计为GP(m,n)的立体转变为新的戈德堡多面体，计为GP(2m,2n)。[14][15]

GP(1,0) GP(2,0) GP(4,0) GP(8,0) GP(16,0)...
GPIV
{4+,3} 		 
C 		 
cC 		 
ccC 		 
cccC
GPV
{5+,3} 		 
D 		 
cD 		 
ccD 		 
cccD 		 
ccccD
GPVI
{6+,3} 		 
H 		 
cH 		 
ccH
cccH
ccccH

参见

参考文献

  1. ^ 立花彻美着. 半正多面体の生成（第2報）－切頭・切稜による生成とパソコンによる作図. 図学研究 ４１号(1987/08). [2020-01-18]. doi:10.5989/jsgs.21.2_25. （原始内容存档于2018-06-10）. 
  2. ^ Adrian Rossiter. conway - Conway Notation transformations. Antiprism Polyhedron Modelling Software. [2019-10-21]. （原始内容存档于2019-10-21）. 
  3. ^ Anselm Levskaya. polyHédronisme. [2019-10-21]. （原始内容存档于2013-06-07）. 
  4. ^ 宫崎兴二. 多面体百科. 丸善出版. 2016-10-31. ISBN 978-4621300442. 
  5. ^ 切稜多面体. sakura.ne.jp. [2019-10-21]. （原始内容存档于2019-10-21）. 
  6. ^ Goldberg, Michael. A class of multi-symmetric polyhedra. Tohoku Mathematical Journal. 1937 [2019-10-21]. （原始内容存档于2019-10-21）. 
  7. ^ Joseph D. Clinton, Clinton’s Equal Central Angle Conjecture [1] （页面存档备份，存于互联网档案馆）
  8. ^ Antoine Deza, Michel Deza, Viatcheslav Grishukhin, Fullerenes and coordination polyhedra versus half-cube embeddings, 1998 PDF [2] （页面存档备份，存于互联网档案馆） (p. 72 Fig. 26. Chamfered tetrahedron)
  9. ^ 9.0 9.1 Deza, A.; Deza, M.; Grishukhin, V., Fullerenes and coordination polyhedra versus half-cube embeddings, Discrete Mathematics, 1998, 192 (1): 41–80 [2019-10-21], doi:10.1016/S0012-365X(98)00065-X, （原始内容存档于2007-02-06） 
  10. ^ C80 Isomers. nanotube.msu.edu. [2014-08-12]. （原始内容存档于2014-08-12）. 
  11. ^ Livio Zefiro. Vertex- and edge-truncation of the Platonic and Archimedean solids leading to vertex-transitive polyhedra. mi.sanu.ac.rs. [2019-10-21]. （原始内容存档于2019-03-16）. 
  12. ^ Tile Patterns Gallery. houseplanshelper.com. [2019-10-23]. （原始内容存档于2019-10-23）. 
  13. ^ Laying Patterns. toppstiles.co.uk. [2019-10-23]. （原始内容存档于2019-09-13）. 
  14. ^ Dual Geodesic Icosahedra. dmccooey.com. [2019-10-23]. （原始内容存档于2019-10-23）. 
  15. ^ Hart, George. Goldberg Polyhedra. Senechal, Marjorie (编). Shaping Space 2nd. Springer. 2012: 125–138. doi:10.1007/978-0-387-92714-5_9.