五复合正四面体
在几何学中，五复合正四面体是一种由五个正四面体组合成的几何图形[3]，属于星形二十面体[4]，也是唯一五种正复合体之一[5]，其索引编号为UC5。温尼尔在他的书中列出了许多星形多面体模型，其中也收录了五复合正四面体，并将之给予编号W24[6]。其也收录于哈罗德·斯科特·麦克唐纳·考克斯特的书《五十九种二十面体》中，编号为47[7]，但这个多面体最早是由埃德蒙·赫斯在1876年发现并描述的。
 （单击查看旋转模型） | ||||||||||||
| 类别 | 复合正多面体 | |||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 对偶多面体 | 五复合正四面体 | |||||||||||
| 识别 | ||||||||||||
| 名称 | 五复合正四面体 | |||||||||||
| 参考索引 | UC5, W24 | |||||||||||
| 数学表示法 | ||||||||||||
| 考克斯特符号 | {5,3}[5{3,3}] {3,5}[2] | |||||||||||
| 性质 | ||||||||||||
| 体 | 5 | |||||||||||
| 面 | 20 | |||||||||||
| 边 | 30 | |||||||||||
| 顶点 | 20 | |||||||||||
| 欧拉特征数 | F=20, E=30, V=20 （χ=10） | |||||||||||
| 组成与布局 | ||||||||||||
| 复合几何体数量 | 5 | |||||||||||
| 复合几何体种类 | 5个正四面体 | |||||||||||
| 面的种类 | 20个正三角形 | |||||||||||
| 对称性 | ||||||||||||
| 对称群 | 手性二十面体群 (I) | |||||||||||
| 旋转对称群 | 手性四面体群 (T) | |||||||||||
| 图像 | ||||||||||||
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性质
五复合正四面体为五个正四面体组合成的形状，由于没有顶点共用的情况，因此其边、面和顶点的数量为正四面体的5倍，共有20个面、30条边和20个顶点。
结构
五复合正四面体可以视为正十二面体刻面后的多面体，在正十二面体凸包中每个正四面体定位在12个顶点中的其中4个顶点。也因此，正十二面体有相同的顶点布局。[8]
五复合正四面体可以透过将正四面体置于旋转的二十面体群 (I)构造
其也可以利用20组3个凹五边形组合起来构造，如上图。这种凹五边形有三种边长，其中有两组等长边，较长的等长边长度为黄金比例倒数的根号2倍，为 ，较短的等长边长度为黄金比例平方的倒数，为 ，另外一边长度为黄金比例平方倒数的根号2倍， 。这种方法由温尼尔提出[10]。
这种形状也正是每个正四面体露出来的部分。
| 球面镶嵌 |
透明的模型 (旋转模型) |
五个互交叉的四面体 |
顶点坐标
由于五复合正四面体可以看作是在正十二面体中嵌入正四面体，因此其顶点坐标与正十二面体相同：
- (±1, ±1, ±1)、
- (0, ±1/ϕ, ±ϕ)、
- (±1/ϕ, ±ϕ, 0)、
- (±ϕ, 0, ±1/ϕ)。
其中ϕ = 1 + √5/2为黄金比例。
作为星形多面体
五复合正四面体是一种星形二十面体，其星状核为正二十面体、凸包为正十二面体，在杜·瓦尔记号中以Ef1d表示。
| 星状图 | 星形 | 星状核 | 凸包 |
|---|---|---|---|
| 正二十面体 |
正十二面体 |
其他的五复合正四面体
相关多面体
参见
- 正四面体
- 十复合正四面体
参考文献
- Wenninger, Magnus. Polyhedron Models. Cambridge University Press. 1974. ISBN 0-521-09859-9.
- ^ 1.0 1.1 H.S.M. Coxeter, Regular Polytopes, (3rd edition, 1973), Dover edition, 加利福尼亚理工学院 计算机科学组. [2016-09-01]. （原始内容存档于1999-09-13）.
Compound of Five Tetrahedra, Another type of linkage, only with five reflective tetrahedra.
- ^ Maeder, R. E. "The Stellated Icosahedra." （页面存档备份，存于互联网档案馆） Mathematica in Education 3, 5-11, 1994.
- ^ Regular Polytopes (1973)[1], 3.6 The five regular compounds, pp.47-50
- ^ Wenninger, Magnus. Polyhedron Models. Cambridge University Press. 1974. ISBN 0-521-09859-9.
- ^ H·S·M·考克斯特. 五十九種二十面體. H. T. Flather, J. F. Petrie. Springer Science & Business Media. 2012. ISBN 9781461382164.
- ^ Compound of Five Tetrahedra. 国立清华大学. [2017-02-28]. （原始内容存档于2017-03-01）.
- ^ 9.0 9.1 Cundy, H. and Rollett, A. "Five Tetrahedra in a Dodecahedron." §3.10.8 in Mathematical Models, 3rd ed. Stradbroke, England: Tarquin Pub., 1989. 编辑
- 埃里克·韦斯坦因. 五複合正四面體. MathWorld.