合流超几何函数
在特殊函数中,合流超几何函数(confluent hypergeometric function)定义为合流超几何方程的解。它是高斯超几何函数的极限情形,相当于超几何方程中的两个正则奇点 1 和 ∞ 合流为一个非正则奇点 ∞,因而得名。
根据所选择的参变量与宗量的不同,合流超几何函数有多种标准形式,常见的有:
Kummer 方程
根据广义超几何函数的性质,超几何函数 w(z)=1F1(a;b;z) 满足的微分方程为:
- .
展开后就得到 Kummer 方程[1],
- ,
它在正则奇点 0 附近的一个正则解为 Kummer 函数:
式中 (a)(n) 是升阶乘的 Pochhammer 记号。
Kummer 函数是高斯超几何函数的极限情形[1]:
高斯超几何方程在正则奇点 0 附近的另一个正则解为:
按照相同的极限过程,可知 Kummer 方程的另一个正则解为(这里的 b 等同于上式的 c):
但是,传统上并不把这个正则解定义为第二类合流超几何函数。Tricomi 函数定义为它们的线性组合[2]:
它与另一个广义超几何函数有下列关系[3]:
但此时上面的超几何函数对应的级数不收敛,需要通过另外的方式来定义(如积分表达式)。更常见的是下面的表述,它将 2F0 对应的超几何级数视为渐近级数。
Kummer 函数是整函数,而 Tricomi 函数一般有奇点 0。
可转化为 Kummer 方程的二阶线性常微分方程
大部分系数为自变量 z 的一次函数的二阶线性常微分方程都可以通过变量代换转换成 Kummer 方程。对方程
先将 A+Bz 用一个新的 z 代换,就可以将二阶项前面的系数化为 Kummer 方程的形式:
这里的 C,D,E,F 是作代换后得到的新的值。然后将 z 用 (D2-4F)-1/2z 代换,并将整个式子乘以相同的常数,得到:
它的解为,
李代数参数与惠泰克方程
其中第一个李代数参数是 z=0 处两个正则解的指标之差。而第二个李代数参数对于 z=0 处的两个正则解给出相同的值。这时 z=0 处的两个正则解可以表示为
惠泰克方程的形式为:
它的两个线性无关的解为惠泰克函数,与第一类、第二类合流超几何函数有下列关系[1]:
注意到
故惠泰克方程中的参数实际上与 Kummer 方程对应的李代数参数等价,两者之间只差一个常数倍。
积分表示
合流超几何函数的很多性质可以通过高斯超几何函数得到,高斯超几何函数的积分表示为:
式中的 Β 是beta函数。
两边取极限后就得到(第一类)合流超几何函数的积分表示[3]:
第二类合流超几何函数的积分表示为[3]:
变换公式
高斯超几何函数的 Pfaff 变换公式为:
两边取极限得到(第一类)合流超几何函数的 Kummer 变换公式[2]:
第二类合流超几何函数的 Kummer 变换公式为[2]:
- .
特殊情形
很多特殊函数都是合流超几何函数的特殊情形。
柱函数
第一类、第二类虚宗量贝塞尔函数可以分别表示为[1]:
Γ, 误差函数
不完全伽玛函数可以表示为[1]:
正交多项式及相关函数
其中的二项式系数用贝塔函数来定义。
(物理学上的)厄米多项式可以表示为[1]:
注
参考文献
- ^ 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 吴崇试. 17. 数学物理方法(第二版). 北京大学出版社. [2003]. ISBN 9787301068199.
- ^ 2.0 2.1 2.2 Daalhuis, Adri B. Olde, 合流超几何函数, Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (编), NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, 2010, ISBN 978-0521192255, MR2723248
- ^ 3.0 3.1 3.2 3.3 Dereziński, Jan. Hypergeometric type functions and their symmetries. arXiv:1305.3113 .
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- Erdélyi, Arthur; Magnus, Wilhelm; Oberhettinger, Fritz & Tricomi, Francesco G. Higher transcendental functions. Vol. I. New York–Toronto–London: McGraw–Hill Book Company, Inc. 1953. MR 0058756.
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- Tricomi, Francesco G. Sulle funzioni ipergeometriche confluenti. Annali di Matematica Pura ed Applicata. Serie Quarta. 1947, 26: 141–175. ISSN 0003-4622. MR 0029451. doi:10.1007/bf02415375 (意大利语).
- Tricomi, Francesco G. Funzioni ipergeometriche confluenti. Consiglio Nazionale Delle Ricerche Monografie Matematiche 1. Rome: Edizioni cremonese. 1954. ISBN 978-88-7083-449-9. MR 0076936 (意大利语).
外部链接
- Wolfram 函数大全上的 Kummer 超几何函数(页面存档备份,存于互联网档案馆)
- Wolfram 函数大全上的 Tricomi 超几何函数(页面存档备份,存于互联网档案馆)