黎曼-西格尔公式
在数学中,黎曼-西格尔公式是黎曼ζ函数的近似函数方程误差的渐近公式,前者是ζ函数的近似值,由两个有限狄利克雷级数的和来近似。Siegel (1932)在波恩哈德·黎曼1850年代一篇未发表的手稿中发现这个公式。西格尔从黎曼-西格尔积分公式中推导出它,这是一个涉及ζ函数围道积分的表达式。该公式通常用于计算黎曼-西格尔公式的值,与欧德里兹科-肖恩哈格算法相结合,可以大大加快算法的速度。当沿着临界线使用时,通常将其变换为关于Z函数的公式比较有用。
如果M和N是非负整数,那么ζ函数等于
其中
是函数方程ζ(s) = γ(1-s) ζ(1 − s)中出现的因数,且
是一个围道积分,围道的起点和终点在+∞处,并最多绕绝对值奇点2πM圈。近似函数方程给出了误差项大小的估计。Siegel (1932)和Edwards (1974)通过将最速下降法应用于该积分,推导出黎曼-西格尔公式,将误差项R(s)渐近展开为Im(s)的负幂次级数。在应用中,s通常位于临界线上,并且选择正整数M和N约为(2πIm(s))1/2。Gabcke (1979)发现了一个黎曼-西格尔公式误差的较好界限。
黎曼积分公式
黎曼证明了
积分围道是一条斜率为-1的线,通过0和1之间(Edwards 1974,7.9)。
他用此给出了以下ζ函数的积分公式:
参考
- Berry, Michael V., The Riemann–Siegel expansion for the zeta function: high orders and remainders, Proceedings of the Royal Society. London. Series A. Mathematical, Physical and Engineering Sciences, 1995, 450 (1939): 439–462, ISSN 0962-8444, MR 1349513, Zbl 0842.11030, doi:10.1098/rspa.1995.0093
- Edwards, H.M., Riemann's zeta function, Pure and Applied Mathematics 58, New York-London: Academic Press, 1974, ISBN 0-12-232750-0, Zbl 0315.10035
- Gabcke, Wolfgang, Neue Herleitung und Explizite Restabschätzung der Riemann-Siegel-Formel, Georg-August-Universität Göttingen, 1979, Zbl 0499.10040 (德语)
- Patterson, S.J., An introduction to the theory of the Riemann zeta-function, Cambridge Studies in Advanced Mathematics 14, Cambridge: Cambridge University Press, 1988, ISBN 0-521-33535-3, Zbl 0641.10029
- Siegel, C. L., Über Riemanns Nachlaß zur analytischen Zahlentheorie, Quellen Studien zur Geschichte der Math. Astron. und Phys. Abt. B: Studien 2, 1932: 45–80, JFM 58.1037.07, Zbl 0004.10501 Reprinted in Gesammelte Abhandlungen, Vol. 1. Berlin: Springer-Verlag, 1966.
外部链接
- Gourdon, X., Numerical evaluation of the Riemann Zeta-function, [2018-04-13], (原始内容存档于2018-03-29)
- 埃里克·韦斯坦因. 黎曼-西格尔公式. MathWorld.