埃尔米特多项式
在数学中,埃尔米特多项式是一种经典的正交多项式族,得名于法国数学家夏尔·埃尔米特。概率论里的埃奇沃斯级数的表达式中就要用到埃尔米特多项式。在组合数学中,埃尔米特多项式是阿佩尔方程的解。物理学中,埃尔米特多项式给出了量子谐振子的本征态。
定义
埃尔米特多项式有两种常见定义。
第一种是概率论中较为常用的形式(又记作: ):
另一种是物理学中较为常用的形式(又记作: ):
这两种定义并不是完全等价的。它们之间的关系是:
概率论中常用第一种定义,因为 是标准正态分布函数(数学期望等于0,标准差等于1)的概率密度函数。
序号 | 概率学 | 物理学 |
---|---|---|
性质
多项式Hn 是一个n次的多项式。概率论的埃尔米特多项式是首一多项式(最高次项系数等于1),而物理学的埃尔米特多项式的最高次项系数等于2n。
正交性
多项式Hn 的次数与序号n 相同,所以不同的埃尔米特多项式的次数不一样。对于给定的权函数 w,埃尔米特多项式的序列将会是正交序列。
- (概率论)
- (物理学)
也就是说,当m ≠ n 时:
除此之外,还有:
- (概率论)
- (物理学)
其中 是克罗内克函数。
从上式可以看到,概率论中的埃尔米特多项式与标准正态分布正交。
完备性
在所有满足
的函数所构成的完备空间中,埃尔米特多项式序列构成一组基。其中的内积定义如下:
埃尔米特微分方程
概率论中的埃尔米特多项式是以下微分方程的解:
方程的的边界条件为: 应在无穷远处有界。
其中 是这个方程的本征值,是一个常数。要满足上述边界条件,应取 ∈ 。对于一个特定的本征值 ,对应着一个特定的本征函数解,即 。
而物理学中的埃尔米特多项式则是以下微分方程的解:
其本征值同样为 ∈ ,对应的本征函数解为 。
以上两个微分方程都称为埃尔米特方程。
参考文献
- Arfken, Mathematical Methods for Physicists
- B Spain, M G Smith, Functions of mathematical physics, Van Nostrand Reinhold Company, London, 1970. Chapter 11 deals with Hermite polynomials.
- Bayin, S.S. (2006) Mathematical Methods in Science and Engineering, Wiley, Chapter 4.
- Courant, Richard; Hilbert, David, Methods of Mathematical Physics, Volume I, Wiley-Interscience, 1953.
- Erdélyi, Arthur; Magnus, Wilhelm; Oberhettinger, Fritz; Tricomi, Francesco G., Higher transcendental functions. Vol. II, McGraw-Hill, 1955
- Fedoryuk, M.V., H/h046980, Hazewinkel, Michiel (编), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4.
- Szegő, Gábor, Orthogonal Polynomials, American Mathematical Society, 1939, 1955
- Wiener, Norbert, The Fourier Integral and Certain of its Applications, New York: Dover Publications, 1958, ISBN 0-486-60272-9
- Whittaker, E. T.; Watson, G. N. A Course of Modern Analysis 4th Edition. London: Cambridge University Press. 1962.
- Temme, Nico, Special Functions: An Introduction to the Classical Functions of Mathematical Physics, Wiley, New York, 1996
外部链接
- 埃里克·韦斯坦因. 埃尔米特多项式. MathWorld.