极向–环向分解

在向量分析中，极向–环向分解（英文：poloidal–toroidal decomposition）是亥姆霍兹分解的一个受限制的形式，常用于螺线向量场在球坐标系下的分析，如磁场和不可压缩流体等。^[1]考虑一个三维向量场F满足

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} =0,}$

可以被表示为一个轴矢量场（toroidal vector field）和一个极矢量场（poloidal vector field）的和：

${\displaystyle \mathbf {F} =\mathbf {T} +\mathbf {P} =\nabla \times \Psi \mathbf {r} +\nabla \times (\nabla \times \Phi \mathbf {r} ),}$

其中${\displaystyle \mathbf {r} }$是球坐标${\displaystyle (r,\theta ,\phi )}$中的径向矢量，纵场${\displaystyle \mathbf {T} }$为

${\displaystyle \mathbf {T} =\nabla \times \Psi \mathbf {r} }$

${\displaystyle \Psi (r,\theta ,\phi )}$为一标量场，[2]横场${\displaystyle \mathbf {P} }$为

${\displaystyle \mathbf {P} =\nabla \times \nabla \times \Phi \mathbf {r} }$

${\displaystyle \Phi (r,\theta ,\phi )}$为一标量场。^[2]这一向量分解法是对称的，因为纵场的旋度是横场，而横场的旋度是纵场。^[3]纵场与球心在原点的球面相切

${\displaystyle \mathbf {r} \cdot \mathbf {T} =0}$,^[3]

而横场的旋度同样地与这些球面相切

${\displaystyle \mathbf {r} \cdot (\nabla \times \mathbf {P} )=0}$.^[4]

若标量场${\displaystyle \Psi }$和${\displaystyle \Phi }$的平均值在任意半径为${\displaystyle r}$的球面上都等于零，则这一分解方式是唯一的。^[2]