积范畴

积范畴${\displaystyle {\mathcal {C\times D}}}$ 的组成部分有：

• 物件，为

  有序对${\displaystyle (A,B)}$ ，其中${\displaystyle A}$ 是${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ 的物件，而${\displaystyle B}$ 是${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ 的物件；

• 态射，由物件${\displaystyle (A_{1},B_{1})}$ 至物件${\displaystyle (A_{2},B_{2})}$ 的态射为：

  有序对${\displaystyle (f,g)}$ ，其中${\displaystyle f:A_{1}\to A_{2}}$ 是${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ 的态射，${\displaystyle g:B_{1}\to B_{2}}$ 是${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ 的态射；

• 态射间的复合运算，是逐个分量的复合：

  ${\displaystyle (f_{2},g_{2})\circ (f_{1},g_{1})=(f_{2}\circ f_{1},g_{2}\circ g_{1});}$ 

• 物件上的恒等态射，由各分量上的恒等态射组成：

  ${\displaystyle 1_{(A,B)}=(1_{A},1_{B}).}$ 

两个小范畴之积，是其作为小范畴范畴（英语：Category of small categories）${\displaystyle \mathbf {Cat} }$ 的物件的乘积。定义域为积范畴的函子，也称为双函子。重要例子有Hom函子（英语：Hom functor），其定义域为某范畴${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ 及其对偶范畴（英语：Dual (category theory)）${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\mathrm {op} }}$ 之积：

${\displaystyle \mathrm {Hom} :{\mathcal {C}}^{\mathrm {op} }\times {\mathcal {C}}\to \mathbf {Set} .}$ 

正如二元笛卡儿积可以推广到n元笛卡儿积，范畴的二元积亦同样可以推广到${\displaystyle n}$ 元积。若不别同构之异，则二元范畴积可交换及可结合，故此${\displaystyle n}$ 元推广在理论上并无定义额外的新事物。

引用

来源

• Definition 1.6.5 in Borceux, Francis. Handbook of categorical algebra [范畴代数手册]. Encyclopedia of mathematics and its applications 50-51, 53 [i.e. 52]. Volume 1. Cambridge University Press. 1994: 22. ISBN 0-521-44178-1 （英语）. 
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• Mac Lane, Saunders. Categories for the Working Mathematician [数学家的范畴论] Second. New York, NY: Springer New York. 1978: 49–51. ISBN 1441931236. OCLC 851741862 （英语）.