MV-代数

设 A 是个集合。MV-代数是代数结构，带有型 ${\displaystyle \ \langle 2,1,0\rangle }$  的标识(signature) ${\displaystyle \left\langle A,\oplus ,\lnot ,0\right\rangle ,}$ ，它满足如下恒等式：

• ${\displaystyle (x\oplus y)\oplus z=x\oplus (y\oplus z)}$ ,
• ${\displaystyle x\oplus 0=x}$ ,
• ${\displaystyle x\oplus y=y\oplus x}$ ,
• ${\displaystyle \lnot \lnot x=x}$ ,
• ${\displaystyle x\oplus \lnot 0=\lnot 0}$ ,
• ${\displaystyle \ \lnot (\lnot x\oplus y)\oplus y=\lnot (\lnot y\oplus x)\oplus x}$ .

备注：通过前三个公理 ${\displaystyle \left\langle A,\oplus ,0\right\rangle }$  是交换幺半群。

或者作为替代，MV-代数是一个剩余格 ${\displaystyle A=\left\langle L,\wedge ,\vee ,\otimes ,\rightarrow ,0,1\right\rangle }$  满足额外恒等式

${\displaystyle \forall \ x,y\in A:x\vee y=(x\rightarrow y)\rightarrow y}$ 。

Hájek (1998)描述了这两个公式的等同。

一个简单的例子是 ${\displaystyle A=[0,1]\,}$ ，带有定义为 ${\displaystyle x\oplus y=min(x+y,1)}$  和 ${\displaystyle \lnot x=1-x}$  的运算。

在多值逻辑中，给定一个 MV-代数 A，一个 A-赋值就是从命题演算中公式的集合到 MV-代数的函数。如果对于所有 A-赋值这个函数把一个公式映射到 1（或 ${\displaystyle \lnot }$ 0），则这个公式是一个 A-重言式。因此对于无穷值逻辑（比如模糊逻辑、武卡谢维奇逻辑），我们设 [0,1] 是 A 的下层集合来获得 [0,1]-赋值和 [0,1]-重言式（经常就叫做赋值和重言式）。

Chang 发明 MV-代数来研究波兰数学家扬·武卡谢维奇（Jan Łukasiewicz）在 1920 年介入的多值逻辑。Chang 的完备定理(1958, 1959) 声称任何在 [0,1] 区间成立的 MV-代数等式也在所有 MV-代数中成立。通过这个定理，证明了无穷值的武卡谢维奇逻辑可以被 MV-代数所刻画。后来同样适用于模糊逻辑。这类似于在 {0,1} 成立的布尔代数等式在任何布尔代数中也成立，布尔代数因此刻画了标准二值逻辑。

• Chang, C. C. (1958) "Algebraic analysis of many-valued logics," Transactions of the American Mathematical Society 88: 476-90.
• ------ (1959) "A new proof of the completeness of the Lukasiewicz axioms," Transactions of the American Mathematical Society 88: 74-80.
• Cignoli, R. L. O., D'Ottaviano, I, M. L., Mundici, D., 2000. Algebraic Foundations of Many-valued Reasoning. Kluwer.
• Di Nola A., Lettieri A. (1993) "Equational characterization of all varieties of MV-algebras," Journal of Algebra 221: 123-31.
• Hájek, Petr (1998) Metamathematics of Fuzzy Logic. Kluwer.

• Stanford Encyclopedia of Philosophy："Many-valued logic （页面存档备份，存于互联网档案馆）" -- by Siegfried Gottwald.

• 布尔代数
• 武卡谢维奇逻辑