分配上半格

序理论中,分配并半格distributive join-semilattice)和分配交半格distributive meet-semilattice)是分配格半格的推广。与分配格不同,分配并(交)半格不再是使用像分配律一样的恒等式来定义,而通过恒等式定义实际上也是不可能做到的。[1]

定义

对于并半格 (任两元具有上确界 偏序集),以下条件等价,满足此条件的并半格称为分配并半格

  • 对于任意 ,如果 ,那么存在  使得 
  •  序理想构成的并半格 分配格[2]:167, Lemma 184(iii)

对偶地可以定义分配交半格

性质

在分配并半格中,任意两个元素都有下界[2]:167, Lemma 184(ii)

分配格不同,分配并半格的不关于子代数封闭,从而不构成。其实,任何由并半格构成的都不能推广分配格并半格,也就是不能使其对于的情形与分配格一致。[1]

对于 ,以下条件等价。

  • 并半格 是分配并半格。
  •  分配格

参考文献

  1. ^ 1.0 1.1 Ertola-Biraben, Rodolfo C.; Esteva, Francesc; Godo, Lluís. On distributive join semilattices. Fazio, D.; Ledda, A.; Paoli, F. (编). Algebraic Perspectives on Substructural Logics. Trends in Logic 55. Cham: Springer. 2021. ISBN 978-3-030-52162-2. MR 4175062. Zbl 07326288. arXiv:1902.01656 . doi:10.1007/978-3-030-52163-9_3 (英语). 
  2. ^ 2.0 2.1 Grätzer, George. Lattice Theory: Foundation. Basel: Springer. 2011. ISBN 978-3-0348-0017-4. LCCN 2011921250. MR 2768581. Zbl 1233.06001. doi:10.1007/978-3-0348-0018-1 (英语).