拿破仑问题

作法

1. 在已知的圆${\displaystyle C}$ 上找任意一点 A，以任意半径画弧 ${\displaystyle {\color {Red}C_{1}}}$ （必须和圆${\displaystyle C}$ 有交点，长度最好差不多有半圆那么长，方便第三步作图），交圆${\displaystyle C}$ 于 B'、B 两点。
2. 分别以B'、B为圆心， ${\displaystyle {\overline {B'A}}}$  、${\displaystyle {\overline {BA}}}$  为半径，画两条弧 ${\displaystyle {\color {Green}C_{2}}}$ ，两弧线相交于 A 点和 C 点。
3. 再以 C 点为圆心、 ${\displaystyle {\overline {CA}}}$ 为半径，画弧 ${\displaystyle {\color {RawSienna}C_{3}}}$  ，交弧${\displaystyle {\color {Red}C_{1}}}$ 于 D'、D两点。
4. 以D'、D为圆心， ${\displaystyle {\overline {D'A}}}$  、${\displaystyle {\overline {DA}}}$  为半径，画两条弧 ${\displaystyle {\color {blue}C_{4}}}$  ，两弧线相交于A点和O点。（O点即圆${\displaystyle C}$ 的圆心）

证明

设圆${\displaystyle C_{1}}$ 的半径为${\displaystyle a}$ ，圆${\displaystyle C_{3}}$ 的半径为${\displaystyle b}$ ，我们知道：

${\displaystyle a={\overline {AB}}={\overline {BC}}={\overline {AD}}={\overline {OD}}}$ 

${\displaystyle b={\overline {AC}}={\overline {DC}}}$ 

因为${\displaystyle \triangle ADC\thicksim \triangle AOD}$ ，所以${\displaystyle {\overline {AO}}={\frac {a^{2}}{b}}}$ 

由于${\displaystyle {\overline {AO}}:{\overline {AB}}=a:b={\overline {AB}}:{\overline {AC}}}$ ，可以得出${\displaystyle \triangle ABC\thicksim \triangle AOB}$ 

根据对称性，${\displaystyle {\overline {AO}}}$ 通过圆心，又${\displaystyle {\overline {AO}}={\overline {OB}}}$ ，所以${\displaystyle O}$ 是圆${\displaystyle C}$ 的圆心。

作法

由前面我们已经知道圆心的位置

1. 在已知的圆上找任意一点 ${\displaystyle X}$ ，以${\displaystyle {\overline {XO}}}$ 为半径画弧 ${\displaystyle {\color {Red}C_{1}}}$ ，交圆于 ${\displaystyle V}$ 、${\displaystyle Y}$  两点。
2. 以 ${\displaystyle Y}$  为圆心，${\displaystyle {\overline {YO}}}$ 为半径画弧 ${\displaystyle {\color {Red}C_{2}}}$ ，交圆于 ${\displaystyle Z}$  点（和 ${\displaystyle X}$  点）。
3. （继续分别以 ${\displaystyle Z}$ 、${\displaystyle V}$  为圆心，${\displaystyle {\overline {ZO}}}$ 、${\displaystyle {\overline {VO}}}$  为半径画弧，即可将圆六等分，）${\displaystyle V}$ 、${\displaystyle X}$ 、${\displaystyle Y}$ 、${\displaystyle Z}$  为四个六等分点（如图）。
4. 以 ${\displaystyle V}$  为圆心，${\displaystyle {\overline {VY}}}$ 为半径画弧 ${\displaystyle {\color {blue}C_{3}}}$ ；以 ${\displaystyle Z}$  为圆心，${\displaystyle {\overline {ZX}}}$ 为半径画弧 ${\displaystyle {\color {blue}C_{4}}}$ ，两弧交于 ${\displaystyle T}$  点。
5. 以 ${\displaystyle Z}$  为圆心，取${\displaystyle {\overline {OT}}}$ 的长度 ${\displaystyle {\color {Green}D}}$  为半径画弧 ${\displaystyle {\color {Green}C_{5}}}$ ，交圆于 ${\displaystyle U}$ 、${\displaystyle W}$  两点。
6. ${\displaystyle V}$ 、${\displaystyle W}$ 、${\displaystyle Z}$ 、${\displaystyle U}$  四点将圆四等分。

证明

设圆的半径为${\displaystyle a}$ ，容易得出${\displaystyle {\overline {OV}}}$ 、${\displaystyle {\overline {OX}}}$ 、${\displaystyle {\overline {OY}}}$ 、${\displaystyle {\overline {OZ}}}$ 、${\displaystyle {\overline {VX}}}$ 、${\displaystyle {\overline {XY}}}$ 、${\displaystyle {\overline {YZ}}}$ 的长度都是${\displaystyle a}$ ，可以得出${\displaystyle {\overline {VY}}={\overline {VT}}={\sqrt {3}}a}$ ，根据毕氏定理可以得出${\displaystyle {\overline {OT}}={\sqrt {{\overline {VT}}^{2}-{\overline {VO}}^{2}}}={\sqrt {2}}a}$ ，因此${\displaystyle V}$ 、${\displaystyle W}$ 、${\displaystyle Z}$ 、${\displaystyle U}$ 四点将圆四等分。

• 拿破仑定理
• 尺规作图
• 圆规作图

1. ^ Georg Mohr, Euclides Danicus (Amsterdam: Jacob van Velsen, 1672).
2. ^ Schogt, J. H. (1938) "Om Georg Mohr's Euclides Danicus," Matematisk Tidsskrift A , pages 34-36.

• Napoleon's Problem （页面存档备份，存于互联网档案馆）MathWorld
• 拿破仑分圆