蒙提霍尔问题

蒙提霍尔问题（英文：Monty Hall problem），亦称为蒙特霍问题、山羊问题或三门问题，是一个源自博弈论的数学游戏问题，参赛者会看见三扇门，其中一扇门的里面有一辆汽车，选中里面是汽车的那扇门，就可以赢得该辆汽车，另外两扇门里面则都是一只山羊。当参赛者选定了一扇门，主持人会开启另一扇是山羊的门；并问：“要不要换一扇门？”依照玛丽莲·沃斯·莎凡特的见解，参赛者应该换，换门的话，赢得汽车的概率是2/3。这问题亦被叫做蒙提霍尔悖论：因为该问题的答案虽在逻辑上并无矛盾，但十分违反直觉。

蒙提霍尔问题图解

蒙提霍尔问题得名于主持人蒙提·霍尔，他主持美国的电视游戏节目Let's Make a Deal（英语：Let's Make a Deal）时，会有这样的游戏，他也确实会先开启另一扇是山羊的门，来吸引观众眼球；但他不会允许参赛者换门。蒙提霍尔问题首次出现，可能是在1889年约瑟夫·贝特朗（英语：Joseph Bertrand）所著的Calcul des probabilités一书中。在这本书中，这条问题被称为“贝特朗箱子悖论（英语：Bertrand's box paradox）”（Bertrand's Box Paradox）。另一种形式则是三囚问题（Three prisoners problem），原理是一模一样的，1959年出现在马丁·加德纳的《数学游戏》专栏中，其后被改编成各种语言的版本。

Monty tree door1.svg

问题与解答

问题

以下是蒙提霍尔问题的一个著名的叙述，来自Craig F. Whitaker于1990年寄给《展示杂志》（Parade Magazine）玛丽莲·沃斯·莎凡特（Marilyn vos Savant）专栏的信件：

假设你正在参加一个游戏节目，你被要求在三扇门中选择一扇：其中一扇后面有一辆车；其余两扇后面则是山羊。你选择了一道门，假设是一号门，然后知道门后面有什么的主持人，开启了另一扇后面有山羊的门，假设是三号门。他然后问你：“你想选择二号门吗？”变换你的选择对你来说是一种优势吗？

以上叙述是对Steve Selvin于1975年2月寄给American Statistician杂志的叙述的改编版本。如上文所述，蒙提霍尔问题是游戏节目环节的一个引申；蒙提·霍尔在节目中的确会开启一扇错误的门，以增加刺激感，但不会容许玩者更改他们的选择。如蒙提·霍尔寄给Selvin的信中所写：

如果你上过我的节目的话，你会觉得游戏很快—选定以后就没有交换的机会。
—（letsmakeadeal.com） （页面存档备份，存于互联网档案馆）

Selvin在随后寄给American Statistician的信件中（1975年8月）首次使用了“蒙提霍尔问题”这个名称。


Mueser和Granberg透过在主持人的行为身上加上明确的限制条件，提出了对这个问题的一种不含糊的陈述：

  • 参赛者在三扇门中挑选一扇。他并不知道内里有什么。
  • 主持人知道每扇门后面有什么。
  • 主持人必须开启剩下的其中一扇门，并且必须提供换门的机会。
  • 主持人永远都会挑一扇有山羊的门。
    • 如果参赛者挑了一扇有山羊的门，主持人必须挑另一扇有山羊的门。
    • 如果参赛者挑了一扇有汽车的门，主持人随机（概率均匀分布）在另外两扇门中挑一扇有山羊的门。
  • 参赛者会被问是否保持他的原来选择，还是转而选择剩下的那一道门。

变换选择可以增加参赛者的机会吗？

解答

玛丽莲·沃斯·莎凡特在1980年代中期因跻身《吉尼斯世界纪录》中的智商纪录保持人而成名（结果为185）。当时她的答复在《大观杂志》刊出之后引起举世关注。她的解答彻底违反直觉，并引起众多数学家的质疑。但随后的阐释让质疑者颜面无光。显然，莎凡特的答案是正确的-当参赛者转向另一扇门而不是继续维持原先的选择时，赢得汽车的机会将会加倍。

1.
  
主持人挑出
任一只羊 		 

  		 
参赛者选择汽车
（1/3概率） 		转换后失败
2.
   主持人必须
挑出B羊
  		 
参赛者选择A羊
（1/3概率） 		转换后获胜
3.
   主持人必须
挑出A羊
  		 
参赛者选择B羊
（1/3概率） 		转换后获胜
参赛者最初选择时有1/3的相同概率选择汽车、A羊和B羊，转换后的获胜概率为2/3。

有三种可能的情况，全部都有相等的可能性（1/3）：

  • 参赛者挑汽车，主持人挑两头羊的任何一头。变换将失败。
  • 参赛者挑A羊，主持人挑B羊。变换将赢得汽车。
  • 参赛者挑B羊，主持人挑A羊。变换将赢得汽车。

问题是：关于第一种可能性的表述可以分成两种可能吗？

  • 参赛者挑汽车，主持人挑A羊。变换将失败。
  • 参赛者挑汽车，主持人挑B羊。变换将失败。

在后两种情况，参赛者可以透过变换选择而赢得汽车。第一种情况是唯一一种参赛者透过保持原来选择而赢的情况。因为三种情况中有两种是透过变换选择而赢的，所以透过变换选择而赢的概率是2/3。

如果没有最初选择，或者如果主持人随便打开一扇门（可能主持人会直接开到汽车门，导致游戏结束），又或者如果主持人只会在参赛者作出特定选择某一门时才会问是否变换选择的话，问题都将会变得不一样。例如，如果主持人先从两只山羊中剔除其中一只，然后才叫参赛者作出选择的话，选中的机会将会是1/2。

还可以用逆向思维的方式来理解这个选择(以主持人的角度来思考)。无论参赛者开始的选择如何，在被主持人问到是否更换时都选择更换。如果参赛者先选中山羊，换之后百分之百赢；如果参赛者先选中汽车，换之后百分之百输。而选中山羊的概率是2/3，选中汽车的概率是1/3。所以不管怎样都换，相对最初的赢得汽车仅为1/3的机率来说，转换选择可以增加赢的机会。

一些更简洁的解法：（1）你最初选羊的概率是2/3，而主持人选羊以后，你变换后选羊的概率就是你最初选车的概率，1/3。（2）你最初选车的概率是1/3，而主持人选羊以后，你变换后选车的概率就是你最初选羊的概率，2/3。（3）你最初选车的概率为1/3，车在另外两个门后的概率为2/3，主持人选羊以后，车在最后那张门后的概率还是原来两张门后有车的概率，2/3。

三门问题是多门问题之中最难的情况。如果把三门变成千门，参赛者第一次就选中的概率就是1/1000，参赛者就会清楚自己完全是猜测，而不是如同三门的时候，1/3的概率，所以认为自己是正确的。这样，当主持人打开剩下999扇门中的998扇时，该如何选择，认真思考就会比三门的时候清晰很多（换与不换，中奖的比率是999:1)。

同类型问题：三囚问题

一个国家的大理寺诏狱中有甲、乙、丙三个政治犯死囚，新任皇帝决定在亲政之日特赦其中一位囚犯作为庆祝；但要在同日将另两位斩首，以正国法。皇帝抽签选出那位幸运的囚犯之后，签署了特赦令，告诉大理正卿，哪两位囚犯将要被处决，哪一位囚犯将要被赦免。但皇帝特别要求正卿，不可让死囚知晓自己即将被处死或被特赦，以免影响囚情。甲听闻了皇帝即将赦免三人中的一人，赶紧私下向正卿询问自己未来的情况，正卿却答：“奉上谕，我不能让你知道，你会被赦免或者处决。所以我只告诉你，另外两人之中，其中一人会遭处决。”甲听后非常高兴，认为现在只有自己跟乙或丙其中一人可能会被赦免，所以自己有五成的机会被赦免，甲高兴地一五一十地告诉了大理评事，评事却说：“不对，你只有三分之一的机会。”究竟何者为真呢？[1]

解答

“三门问题”其实跟“三囚问题”道理是一样的。“三个死囚”就是“三扇门”，“特赦令”就是“车”，“被斩首”就是“羊”。“囚犯甲”就是“第一扇门”。“大理正卿说另外两人之中，其中一人会被斩首”就是“主持人打开了另外一扇门，门里是羊”。但是三门问题多了个变换的机制，这就是三门问题里让人感到不直观的部分。

三门问题中“你最初选到车的概率是1/3，是A组；另外两道门则是B组。接着主持人在B组中，选了羊以后，车属于B组的概率还是2/3，所以第三道门的概率还是1/3 (第二扇门和第三扇门在B组中一半的概率后面是车，概率是2/3*1/2=1/3)。但是因为有了变换的机制，所以不变换而得到车的话，就要最初就选到A组，概率是1/3；如果有变换而得到车的话，选到B组和C组都可以，因为都会变换成A组，概率是2/3。”


三囚问题“甲最初拿到特赦令的概率是1/3，是A组；乙和丙则是B组。接着大理正卿表示在B组中有个人会被斩首，特赦令属于B组的概率还是2/3，乙和丙被赦免的概率还是1/3 (乙或丙在B组中有一半的概率会得到特赦令，概率是2/3*1/2=1/3)，所以甲被赦免的概率并没有改变。”

另外，如果主持人在参赛者做决定前就说哪扇门后面是羊，那接下来选到车子的概率就是1/2，这也就不是三门问题了；如果大理正卿明确说是乙要被处决，那甲和丙或得特赦令的机会就真的是1/2了，这就不是三囚问题了。属不属于三囚或三门问题的关键，就在于没有打破另外两个选项的不确定状态(乙或丙本来就至少会一个会被处死、另外两扇门本来至少就会有一扇后面是羊)。

举个写考卷的例子。如果小明要做答一题有三个选项的单选题，但是他题目和选项完全不懂，只好用猜的，最后猜了(A)。这时老师告诉他“(B)和(C)两者中有一个是错的”，那小明这题答对的概率还是1/3，因为本来(B)和(C)两者中就一定有一个是错的，并不会改变(A)的概率；但如果老师告诉他“(B)是错的”，这时小明等于是在(A)和(C)中间选一个，答对的机会就是1/2了。

[2][3]

参见

参考资料

注脚

  1. ^ 欧毕高《经典数学游戏解密》世一出版社
  2. ^ 兩個孩子，壹個是女孩，另壹個也是女孩的概率是多少？“三個囚犯”問題又是怎麽回事？. [2021-02-28]. （原始内容存档于2020-05-01）. 
  3. ^ 三个囚犯问题，该如何思考？. 

文献

  • Bapeswara Rao, V. V. and Rao, M. Bhaskara (1992). "A three-door game show and some of its variants". The Mathematical Scientist 17, no. 2, pp. 89–94
  • Bohl, Alan H.; Liberatore, Matthew J.; and Nydick, Robert L. (1995). "A Tale of Two Goats ... and a Car, or The Importance of Assumptions in Problem Solutions". Journal of Recreational Mathematics 1995, pp. 1–9.
  • Gardner, Martin (1959). "Mathematical Games" column, Scientific American, October 1959, pp. 180–182.
  • Mueser, Peter R. and Granberg, Donald (1999), "The Monty Hall Dilemma Revisited: Understanding the Interaction of Problem Definition and Decision Making" (University of Missouri Working Paper 99-06). http://econwpa.wustl.edu:80/eps/exp/papers/9906/9906001.html （页面存档备份，存于互联网档案馆） (retrieved July 5, 2005).
  • Nahin, Paul J. Duelling idiots and other probability puzzlers. Princeton University Press, Princeton, NJ: 2000 (编辑