子集和问题

子集和问题（英语：Subset sum problem），又称子集合加总问题，是计算复杂度理论和密码学中一个很重要的问题。问题可以描述为：给一个整数集合，问是否存在某个非空子集，使得子集内中的数字和为某个特定数值。例：给定集合{−7, −3, −2, 5, 8}，是否存在子集和为0的集合?答案是YES，因为子集{−3, −2, 5}的数字和是0。这个问题是NP完全问题，且或许是最容易描述的NP完全问题。

一个等价的问题是：给一个整数集合和另一个整数s，问是否存在某个非空子集，使得子集中的数字和为s。子集合加总问题可以想成是背包问题的一个特例。

动态规划解法

用动态规划的方法，能够以伪多项式时间解决子集合加总问题。我们假定输入序列为：

x1, ..., xn

我们需要判断是否存在某个非空子集，使得子集中的数字和为0。我们序列中负数的和为N，正数的和为P。定义函数Q(i, s)，它的涵义为:

是否存在x1, ..., xi的非空子集，使得子集中的数字和为s

子集合加总问题的答案即为Q(n, 0)。

显然，如果s < N或者s > P，则Q(i,s) = false，因此无需记录这些值。我们把Q(i, s)的值保存在数组中，其中1 ≤ i ≤ n且N ≤ s ≤ P。

接下来使用循环来填充数组。首先，对于N ≤ s ≤ P，设定

Q(1, s) := (x1 = s)

随后，对于i = 2, …, n和N ≤ s ≤ P，设定

Q(i, s) := Q(i - 1, s) 或 (xi = s) 或 Q(i - 1, s - xi)

算法运行的总时间为O(n(P - N))。

对算法加以改动，即可返回和为0的子集。

在计算复杂度理论中，这种解法需要的时间并不算多项式时间，这是因为P - N同输入大小并不成线性关系。原因在于输入大小仅仅取决于表达输入所需要的位元数。算法的时间复杂度同N与P的值成线性关系，而它们的值与表达它们所需的位元数成幂关系。