此条目的主题是行数或列数为零的
矩阵。关于行数与列数皆不为零,但其元素全为零的矩阵,请见“
零矩阵”。
空矩阵是指至少有一个维度为零的矩阵,亦即行数或列数为零的矩阵。[1][2]最小的空矩阵为0×0矩阵。空矩阵亦可以是0×5或10×0等形式[3]。空矩阵不会存在任何元素。
定义
空矩阵的定义可以完善一些关于零维空间的约定。包括约定一个矩阵与空矩阵相乘得到的也是空矩阵,两个 和 的空矩阵相乘是一个 的零矩阵(所有元素都是零的矩阵)。0×0的空矩阵的行列式约定为1,所以它也可以有逆矩阵,约定为它自己[4]:18。
性质
- 维数相同的空矩阵与空矩阵相乘仍为空矩阵[5]
-
- 空矩阵与标量或向量相乘仍为空矩阵[5]
- 的空矩阵和 的空矩阵相乘结果为 的零矩阵[5]
- 的空矩阵和任一 的矩阵相乘结果为 的空矩阵[5]
- 任一 的矩阵和 的空矩阵相乘结果为 的空矩阵[5]
- 空矩阵的行列式约定为1,即空积。[4]
- 空矩阵 等于零维零矩阵 等于零维单位矩阵 。[6]
-
- 空矩阵的反矩阵为自身。[4]:18
- 由于
- 因此 ,满足反矩阵与自身相乘为单位矩阵的定义。
- 空矩阵的秩为0[7]
参见
参考文献
- ^ "Empty Matrix: A matrix is empty if either its row or column dimension is zero". O-Matrix v6 User Guide. (原始内容存档于2009-04-29).
- ^ Matrix - MATLAB Data Structures. system.nada.kth.se. (原始内容存档于2009-12-28).
A matrix having at least one dimension equal to zero is called an empty matrix
- ^ Empty Matrices. www.ece.northwestern.edu. [2022-04-29]. (原始内容存档于2020-02-18).
- ^ 4.0 4.1 4.2 Faliva, Mario; Zoia, Maria Grazia, Dynamic Model Analysis: Advanced Matrix Methods and Unit-Root Econometrics Representation Theorems 2nd, Berlin, DE; New York, NY: Springer-Verlag: 218, 2008, ISBN 9783540859956
- ^ 5.0 5.1 5.2 5.3 5.4 4.1.1 Empty Matrices. octave.org. [2022-04-29]. (原始内容存档于2019-09-13).
- ^ Nett, C.N. and Haddad, W.M. A system-theoretic appropriate realization of the empty matrix concept. IEEE Transactions on Automatic Control. 1993, 38 (5): 771–775. doi:10.1109/9.277245.
- ^ empty matrix. scilab.org. [2022-04-29]. (原始内容存档于2020-12-05).