莫雷角三分线定理 在欧几里得几何中,莫雷角三分线定理(Morley's theorem)说明对所有的三角形,其三个内角作角三分线,靠近公共边三分线的三个交点,是一个等边三角形。此定理由法兰克·莫雷在1899年发现。对外角作外角三分线,也会有类似的性质,可以再作出4个等边三角形。 此定理有趣的地方是我们没办法用尺规作图作出其等边三角形,因为已经证明出尺规作图无法作出三等分角。 目录 1 证明 1.1 引理 1.2 引理证明 1.3 定理证明 2 推广 3 参见 4 参考资料 证明 引理 由三倍角公式及和差公式可得出: sin 3 θ ≡ 4 sin θ sin ( 60 ∘ + θ ) sin ( 120 ∘ + θ ) {\displaystyle \sin 3\theta \equiv 4\sin \theta \sin(60^{\circ }+\theta )\sin(120^{\circ }+\theta )} 引理证明 sin 3 θ = 3 sin θ − 4 sin 3 θ {\displaystyle \sin 3\theta =3\sin \theta -4\sin ^{3}\theta } = sin θ ( 3 − 4 sin 2 θ ) = sin θ ( 3 cos 2 θ − sin 2 θ ) {\displaystyle =\sin \theta (3-4\sin ^{2}\theta )=\sin \theta (3\cos ^{2}\theta -\sin ^{2}\theta )} = sin θ ( 3 cos θ + sin θ ) ( 3 cos θ − sin θ ) {\displaystyle =\sin \theta ({\sqrt {3}}\cos \theta +\sin \theta )({\sqrt {3}}\cos \theta -\sin \theta )} = 4 sin θ ( 3 2 cos θ + 1 2 sin θ ) ( 3 2 cos θ − 1 2 sin θ ) {\displaystyle =4\sin \theta ({\tfrac {\sqrt {3}}{2}}\cos \theta +{\tfrac {1}{2}}\sin \theta )({\tfrac {\sqrt {3}}{2}}\cos \theta -{\tfrac {1}{2}}\sin \theta )} = 4 sin θ sin ( 60 ∘ + θ ) sin ( 120 ∘ + θ ) {\displaystyle =4\sin \theta \sin(60^{\circ }+\theta )\sin(120^{\circ }+\theta )} 莫雷角三分线定理证明 定理证明 在 △ A B C {\displaystyle \triangle ABC} 中: α {\displaystyle \alpha } 是 ∠ A {\displaystyle \angle A} 的三等分角 β {\displaystyle \beta } 是 ∠ B {\displaystyle \angle B} 的三等分角 γ {\displaystyle \gamma } 是 ∠ C {\displaystyle \angle C} 的三等分角作6条角三分线分别为 B X ¯ {\displaystyle {\overline {BX}}} 、 X C ¯ {\displaystyle {\overline {XC}}} 、 C Y ¯ {\displaystyle {\overline {CY}}} 、 Y A ¯ {\displaystyle {\overline {YA}}} 、 A Z ¯ {\displaystyle {\overline {AZ}}} 、 Z B ¯ {\displaystyle {\overline {ZB}}} ,作 D {\displaystyle D} 、 E {\displaystyle E} 、 F {\displaystyle F} 在 B C ¯ {\displaystyle {\overline {BC}}} 上,且 B C ¯ ⊥ X D ¯ {\displaystyle {\overline {BC}}\bot {\overline {XD}}} 、 ∠ B X E = ∠ C X F = 60 ∘ {\displaystyle \angle BXE=\angle CXF=60^{\circ }} 容易得出 α + β + γ = 60 ∘ {\displaystyle \alpha +\beta +\gamma =60^{\circ }} ,由此等式还可以得出以下三式: ∠ B X C = 120 ∘ + α {\displaystyle \angle BXC=120^{\circ }+\alpha } ∠ C Y A = 120 ∘ + β {\displaystyle \angle CYA=120^{\circ }+\beta } ∠ A Z B = 120 ∘ + γ {\displaystyle \angle AZB=120^{\circ }+\gamma } 由正弦定理可得出: sin ( 120 ∘ + β ) = A C ¯ sin γ A Y ¯ {\displaystyle \sin(120^{\circ }+\beta )={\frac {{\overline {AC}}\sin \gamma }{\overline {AY}}}} sin ( 120 ∘ + γ ) = A B ¯ sin β A Z ¯ {\displaystyle \sin(120^{\circ }+\gamma )={\frac {{\overline {AB}}\sin \beta }{\overline {AZ}}}} 从这里可以得出 △ X E F {\displaystyle \triangle XEF} 的三个内角,计算出 ∠ X E F {\displaystyle \angle XEF} 和 ∠ X F E {\displaystyle \angle XFE} 的正弦值: ∠ E X F = α {\displaystyle \angle EXF=\alpha } ∠ X E F = 60 ∘ + β ⇒ sin ( 60 ∘ + β ) = X D ¯ X E ¯ {\displaystyle \angle XEF=60^{\circ }+\beta \Rightarrow \sin(60^{\circ }+\beta )={\tfrac {\overline {XD}}{\overline {XE}}}} ∠ X F E = 60 ∘ + γ ⇒ sin ( 60 ∘ + γ ) = X D ¯ X F ¯ {\displaystyle \angle XFE=60^{\circ }+\gamma \Rightarrow \sin(60^{\circ }+\gamma )={\tfrac {\overline {XD}}{\overline {XF}}}} 我们知道: A B ¯ sin 3 β = A C ¯ sin 3 γ {\displaystyle {\overline {AB}}\sin 3\beta ={\overline {AC}}\sin 3\gamma } 从引理我们可以得出: A B ¯ 4 sin β sin ( 60 ∘ + β ) sin ( 120 ∘ + β ) = A C ¯ 4 sin γ sin ( 60 ∘ + γ ) sin ( 120 ∘ + γ ) {\displaystyle {\overline {AB}}4\sin \beta \sin(60^{\circ }+\beta )\sin(120^{\circ }+\beta )={\overline {AC}}4\sin \gamma \sin(60^{\circ }+\gamma )\sin(120^{\circ }+\gamma )} A B ¯ sin β X D ¯ X E ¯ A C ¯ sin γ A Y ¯ = A C ¯ sin γ X D ¯ X F ¯ A B ¯ sin β A Z ¯ {\displaystyle {\overline {AB}}\sin \beta {\frac {\overline {XD}}{\overline {XE}}}{\frac {{\overline {AC}}\sin \gamma }{\overline {AY}}}={\overline {AC}}\sin \gamma {\frac {\overline {XD}}{\overline {XF}}}{\frac {{\overline {AB}}\sin \beta }{\overline {AZ}}}} 化简后得出: X E ¯ X F ¯ = A Z ¯ A Y ¯ ⇒ △ X E F ≈ △ A Z Y {\displaystyle {\frac {\overline {XE}}{\overline {XF}}}={\frac {\overline {AZ}}{\overline {AY}}}\Rightarrow \triangle XEF\approx \triangle AZY} 因为 △ X E F {\displaystyle \triangle XEF} 和 △ A Y Z {\displaystyle \triangle AYZ} 相似,所以可得出: ∠ A Z Y = ∠ X E F = 60 ∘ + β {\displaystyle \angle AZY=\angle XEF=60^{\circ }+\beta } ∠ A Y Z = ∠ X F E = 60 ∘ + γ {\displaystyle \angle AYZ=\angle XFE=60^{\circ }+\gamma } 同理可得出: ∠ B Z X = 60 ∘ + α {\displaystyle \angle BZX=60^{\circ }+\alpha } ∠ C Y X = 60 ∘ + α {\displaystyle \angle CYX=60^{\circ }+\alpha } 综合以上结果,可得出 ∠ X Z Y = ∠ X Y Z = 60 ∘ {\displaystyle \angle XZY=\angle XYZ=60^{\circ }} ,因此 △ X Y Z {\displaystyle \triangle XYZ} 是等边三角形 推广 更一般的莫雷角三分线定理由Taylor和Marr于1914年发表,将6条角三分线顺时钟和逆时钟旋转120°,其交点共可得出27个不同的等边三角形。 参见 三等分角 三角恒等式参考资料 Johnson, R. A. Modern Geometry: An Elementary Treatise on the Geometry of the Triangle and the Circle. Boston, MA: Houghton Mifflin, pp. 253-256, 1929. Morley's Miracle — Several proofs of Morley's theorem (页面存档备份,存于互联网档案馆) Morleys Theorem (页面存档备份,存于互联网档案馆) MathWorld Morley's Trisection Theorem MathPages