莫雷角三分线定理

Morley triangle.png

欧几里得几何中,莫雷角三分线定理(Morley's theorem)说明对所有的三角形,其三个内角角三分线,靠近公共边三分线的三个交点,是一个等边三角形。此定理由法兰克·莫雷在1899年发现。对外角作外角三分线,也会有类似的性质,可以再作出4个等边三角形。

此定理有趣的地方是我们没办法用尺规作图作出其等边三角形,因为已经证明出尺规作图无法作出三等分角

证明

引理

三倍角公式和差公式可得出:

 

引理证明

 
 
 
 
 
 
莫雷角三分线定理证明

定理证明

 中:

  的三等分角
  的三等分角
  的三等分角

作6条角三分线分别为      ,作    上,且  

容易得出 ,由此等式还可以得出以下三式:

 
 
 

正弦定理可得出:

 
 

从这里可以得出 的三个内角,计算出  正弦值:

 
 
 

我们知道:

 

从引理我们可以得出:

 
 

化简后得出:

 

因为  相似,所以可得出:

 
 

同理可得出:

 
 

综合以上结果,可得出 ,因此 是等边三角形

推广

更一般的莫雷角三分线定理由Taylor和Marr于1914年发表,将6条角三分线顺时钟和逆时钟旋转120°,其交点共可得出27个不同的等边三角形。

参见

参考资料