西姆松定理

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西姆松定理说明:有三角形,平面上有一点在三角形三边上的投影(即由到边上的垂足)共线(此线称为西姆松线或译“西摩松线”, Simson line)当且仅当在三角形的外接圆上。

相关的结果有:

  • 称三角形的垂心为H。西姆松线和PH的交点为线段PH的中点,且这点在九点圆上。
  • 两点的西姆松线的交角等于该两点的圆周角。
  • 若两个三角形的外接圆相同,这外接圆上的一点P对应两者的西姆松线的交角,跟P的位置无关。

证明

如图,若L、M、N三点共线,连结BP,CP,则因PL垂直于BC,PM垂直于AC,PN垂直于AB,有B、P、L、N和M、P、L、C分别四点共圆,有

角PBN = 角PLN = 角PLM = 角PCM

故A、B、P、C四点共圆。

若A、B、P、C四点共圆,则角PBN = 角PCM。因PL垂直于BC,PM垂直于AC,PN垂直于AB,有B、P、L、N和M、P、L、C四点共圆,有

角PLN = 角PBN = 角PCM = 角PLM

故L、M、N三点共线。

参见

  • 九点圆

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