西姆松定理
西姆松定理说明:有三角形,平面上有一点。在三角形三边上的投影(即由到边上的垂足)共线(此线称为西姆松线或译“西摩松线”, Simson line)当且仅当在三角形的外接圆上。
相关的结果有:
- 称三角形的垂心为H。西姆松线和PH的交点为线段PH的中点,且这点在九点圆上。
- 两点的西姆松线的交角等于该两点的圆周角。
- 若两个三角形的外接圆相同,这外接圆上的一点P对应两者的西姆松线的交角,跟P的位置无关。
证明
如图,若L、M、N三点共线,连结BP,CP,则因PL垂直于BC,PM垂直于AC,PN垂直于AB,有B、P、L、N和M、P、L、C分别四点共圆,有
角PBN = 角PLN = 角PLM = 角PCM
故A、B、P、C四点共圆。
若A、B、P、C四点共圆,则角PBN = 角PCM。因PL垂直于BC,PM垂直于AC,PN垂直于AB,有B、P、L、N和M、P、L、C四点共圆,有
角PLN = 角PBN = 角PCM = 角PLM
故L、M、N三点共线。
参见
- 九点圆
外部链接
- cut-the-knot网站上的证明 (页面存档备份,存于互联网档案馆)
- 证明(flash) (页面存档备份,存于互联网档案馆)