吕利耶定理

球面三角学中，球面三角形的边长与面积的关系由吕利耶定理给出。这是海伦公式向非欧几何的推广。

球面三角形

在半径为${\displaystyle R}$的球面上的球面三角形${\displaystyle \triangle ABC}$，其三边${\displaystyle BC,CA,AB}$的边长（以三边与球心所成角度表示）为${\displaystyle a,b,c}$，半周长为${\displaystyle p={1 \over 2}(a+b+c)}$。吕利耶定理给出它在球面上的面积：

${\displaystyle S=4R^{2}\arctan \left({\sqrt {\tan {p \over 2}\tan {\frac {p-a}{2}}\tan {\frac {p-b}{2}}\tan {\frac {p-c}{2}}}}\right)}$。

当球面曲率足够小，球面近似于平面，从以上公式可得出海伦公式为其极限情形。事实上，当${\displaystyle R}$比${\displaystyle AB,BC,CA}$大的多，使得${\displaystyle a,b,c<\!\!<1}$，可作近似估算

${\displaystyle \tan x\approx \arctan x\approx x}$，

代入上式便得出海伦公式。