此条目没有列出任何参考或来源。 (2011年4月21日) 维基百科所有的内容都应该可供查证。请协助补充可靠来源以改善这篇条目。无法查证的内容可能会因为异议提出而移除。 |
此条目的主题是一个数学定理。关于同名的热力学定理,请见“
卡诺定理 (热力学)”。
设ABC为三角形,O为其外心。则O到ABC各边的距离之和为
- OOA + OOB + OOC = R + r,
其中r为内切圆半径,R为外接圆半径。这个定理叫做卡诺定理(法语:Théorème de Carnot),以拉扎尔·卡诺为名。
引理
在 中, 为 之外接圆半径,且 为 之内切圆半径,则
-
证明
假设 为锐角三角形, 为 之外接圆圆心, 至 三边之距离分别为 、 、 ,其中 为 至 之距离, 为 至 之距离, 为 至 之距离。连接 与 ,在 中,根据三角形外心性质,可以得到
-
-
所以,可以得到 的表示式,
-
同理,亦可得到 和 的表示式,
-
-
因此,
-
-
-
-
-
-
-
-
根据引理,即可得证,
-
此外,若 为钝角三角形,且 大于 度,其余符号假设均与上面相同,则可以得到,
-
-
-
所以,
-
-
-
故得证卡诺定理。