皮匠刀问题

设在皮匠刀内有一连串互相外切的圆${\displaystyle Q_{1}}$ 、${\displaystyle Q_{2}}$ 、${\displaystyle Q_{3}}$ 、⋯（同时又切于两半圆的弧），则各圆圆心${\displaystyle Q_{n}}$ 到直线${\displaystyle AB}$ 的距离${\displaystyle D_{n}}$ 及其半径${\displaystyle r_{n}}$ 、满足

反演证法

以点${\displaystyle A}$ 为反演中心作与圆${\displaystyle Q_{n}}$ 正交的圆。以${\displaystyle AB}$ 及${\displaystyle AC}$ 为直径的半圆会被反演成垂直于${\displaystyle AB}$ ，与${\displaystyle Q_{n}}$ 相切的两条射线${\displaystyle Q_{AC}^{*}}$ 及${\displaystyle Q_{AB}^{*}}$ 。而${\displaystyle Q_{1}}$ 到${\displaystyle Q_{n-1}}$ 的其他圆则会被反演成直径相等，互相外切且与${\displaystyle Q_{AC}^{*}}$ 及${\displaystyle Q_{AB}^{*}}$ 这两条平行线相切的一连串的圆。而以${\displaystyle BC}$ 为直径的半圆反演变换后的图像类似于${\displaystyle Q_{1}^{*}}$ ，而其圆心在${\displaystyle AB}$ 上。由图像易知上等式成立。 ^[2]