分离态射

设${\displaystyle X,S}$ 为概形。一个态射${\displaystyle f:X\rightarrow S}$ 被称作分离态射，当且仅当它所给出的对角映射${\displaystyle \Delta :X\rightarrow X\times _{S}X}$ 是闭浸入。

由此可定义${\displaystyle S}$ 上的分离概形。若取${\displaystyle S}$ 为终对象${\displaystyle \mathrm {Spec} \mathbb {Z} }$ ，可定义绝对的分离概形。

从分离性可推出：设${\displaystyle X\rightarrow S}$ 分离，对任何${\displaystyle \mathbf {Sch} _{/S}}$ 里的态射${\displaystyle f,g:Y\rightarrow X}$ ，若 ${\displaystyle f}$  与 ${\displaystyle g}$  在一个稠密开集上相等，则${\displaystyle f=g}$ 。准此，可视分离概形为豪斯多夫空间在概形论里的推广。

根据定义，分离性仅与拓扑有关：${\displaystyle f:X\rightarrow S}$ 分离当且仅当${\displaystyle f_{\mathrm {red} }:X_{\mathrm {red} }\rightarrow Y_{\mathrm {red} }}$ 分离。群概形都是分离的（考虑映射${\displaystyle (x,y)\mapsto x^{-1}y}$ ）。此外；仿射概形皆属分离概形。

另一个有用的性质是：若${\displaystyle S}$ 是仿射概形，${\displaystyle X}$ 是${\displaystyle S}$ 上的分离概形，且${\displaystyle U,V\subset X}$ 是仿射开集，则${\displaystyle U\cap V}$ 亦是仿射开集。

下述常见态射都是分离的：

• 概形间的单射（包括开浸入与闭浸入）都是分离态射
• 分离态射的合成仍是分离态射
• 分离态射换底后仍是分离态射
• 若${\displaystyle f:X\rightarrow Y,g:X'\rightarrow Y'}$ 是分离态射，其积${\displaystyle f\times _{S}g:X\times _{S}X'\rightarrow Y\times _{S}Y'}$ 亦然。
• 若${\displaystyle g\circ f}$ 是分离态射，则${\displaystyle f}$ 是分离态射。
• 射影态射是分离态射

于是乎拟射影态射都是分离的，这涵盖了经典代数几何里的所有对象。但在概形论中，我们可透过黏合造出非分离概形；研究函子的可表性时（特别是模空间的研究）亦须仔细处理分离性。

分离性与豪斯多夫性质的类比给出另一种刻划。设所论概形都是局部诺特概形。仅须处理${\displaystyle Y}$ 是一维时的情形，透过一些代数的论证，可化约到${\displaystyle Y=\mathrm {Spec} (R)}$ ，其中${\displaystyle R}$ 是个离散赋值环之情形；此时态射的唯一延拓性译为下述陈述：

设${\displaystyle X,Y}$ 都是局部诺特概形，${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$ 是局部有限型态射，下述陈述等价：

• ${\displaystyle f}$  是分离态射。
• 对任何形如${\displaystyle Y':=\mathrm {Spec} (R)}$ 的${\displaystyle Y}$ -概形，其中${\displaystyle R}$ 是离散赋值环，设${\displaystyle K}$ 为${\displaystyle R}$ 的分式环；若两个${\displaystyle Y}$ -态射${\displaystyle f,g:Y'\rightarrow X}$ 拉回至${\displaystyle \mathrm {Spec} (K)}$ 相等，则有${\displaystyle f=g}$ 。

• Grothendieck, Alexandre; Jean Dieudonné. Éléments de géométrie algébrique (rédigés avec la collaboration de Jean Dieudonné) : I. Le langage des schémas. Publications Mathématiques de l'IHÉS. 1960, 4: 5–228 [2020-12-21]. （原始内容存档于2016-03-06）.  引文使用过时参数coauthors (帮助)
• Grothendieck, Alexandre; Jean Dieudonné. Éléments de géométrie algébrique (rédigés avec la collaboration de Jean Dieudonné) : II. Étude globale élémentaire de quelques classes de morphismes. Publications Mathématiques de l'IHÉS. 1961, 8: 5–222 [2020-12-21]. （原始内容存档于2017-01-12）.  引文使用过时参数coauthors (帮助)