有理曲面

在代数几何里，有理曲面（rational surface）是指一个双有理等价于投影平面的曲面；换句话说，即为一个二维有理簇。有理曲面是复曲面的十余种恩里克斯-小平分类中最简单的一类，且是第一个被研究的曲面。

结构

每个非奇异曲面均可透过重复拉开最小有理曲面而取得。最小有理曲面可为投影平面，或希策布鲁赫平面 Σr，其中 r = 0 或 r ≥ 2。

不变量：有理曲面的正则亏格均为0，其基本群均是平凡的。

霍奇钻石：

1
0 0
0 1+n 0
0 0
1

其中，n 等于 0 时为投影平面，等于 1 时为希策布鲁赫曲面，大于 1 时则为其他有理曲面。

除了希策布鲁赫曲面 Σ2m 为偶么模格 II1,1 之外，皮卡群均为奇么模格 I1,n。

卡斯特尔诺沃定理

吉多·卡斯特尔诺沃证明，任一复曲面，若使得 q 及 P2（不规则点及第二正则亏格）均消失，则该曲面为有理曲面。该定理被用于恩里克斯-小平分类中，以识别有理曲面。扎里斯基于1958年证明，卡斯特尔诺沃定理在特征为正的体上亦成立[1]。

卡斯特尔诺沃定理也意指任一单有理复曲面都是有理曲面，因为若一复曲面为单有理曲面，则其不规则点与正则亏格会小于有理曲面的不规则点与正则亏格，因此均为 0，所以该曲面为有理曲面。大多数三维以上的单有理复簇都不是有理曲面。在特征 p > 0 时，扎里斯基于1958年发现，不是有理曲面，但为单有理曲面（扎里斯基曲面）之例子[1]。

曾有一段时间不知道 q 及 P1 均消失的复曲面是否均为有理曲面，直到费德瑞格·恩里克斯找到一个反例（称为恩里克斯曲面）为止。

有理曲面的例子

  • 博尔迪加曲面：投影平面于 P4 之6次嵌入。
  • 沙德烈曲面
  • 科布尔曲面
  • 立方曲面：非奇异立方曲面同构于6个点拉开的投影平面，且为法诺曲面。有名的例子包括费马立方、凯莱立方曲面及克莱布希对角曲面。
  • 法诺曲面
  • Enneper曲面
  • 希策布鲁赫曲面 Σn
  • 两个投影线的积 P1×P1 为希策布鲁赫曲面 Σ0。该曲面是唯一具有两种不同直纹之曲面。
  • 投影平面
  • 塞格雷曲面：两个二次曲面的相交，同构于5个点拉开的投影平面。
  • 罗马曲面：在 P4 内，具奇异点，且双有理等价于投影平面之曲面。
  • White surfaces, a generalization of Bordiga surfaces.
  • 白曲面，博尔迪加曲面的广义化。
  • 维罗纳曲面：投影平面于 P5 之嵌入。

另见

  • 代数曲面列表

参考资料

  1. ^ 1.0 1.1 Zariski, Oscar, On Castelnuovo's criterion of rationality pa = P2 = 0 of an algebraic surface, Illinois Journal of Mathematics, 1958, 2: 303–315, ISSN 0019-2082, MR 0099990 
  • Barth, Wolf P.; Hulek, Klaus; Peters, Chris A.M.; Van de Ven, Antonius, Compact Complex Surfaces, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge. 4, Springer-Verlag, Berlin, 2004, ISBN 978-3-540-00832-3, MR 2030225 
  • Beauville, Arnaud, Complex algebraic surfaces, London Mathematical Society Student Texts 34 2nd, Cambridge University Press, 1996, ISBN 978-0-521-49510-3, MR 1406314