拉开

以下仅考虑复数域 ${\displaystyle \mathbb {C} }$  上的情形，一般构造准此可知。

令 ${\displaystyle Z}$  为复仿射空间 ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$  的原点，仿射空间的元素以坐标表为 ${\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{n})}$ 。令 ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n-1}}$  为 ${\displaystyle (n-1)}$ -维复射影空间，其元素以齐次坐标表示为 ${\displaystyle (y_{1}:\ldots :y_{n})}$ 。 令 ${\displaystyle {\tilde {\mathbb {C} ^{n}}}}$  为 ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}\times \mathbb {P} ^{n-1}}$  中由等式 ${\displaystyle x_{i}y_{j}=x_{j}y_{i}}$  定义之闭子集，其中 ${\displaystyle i,j=1,\ldots ,n}$ 。则投影态射

${\displaystyle \pi :\mathbb {C} ^{n}\times \mathbb {P} ^{n-1}\to \mathbb {C} ^{n}}$ 

自然地导出态射（特别也是全纯函数）

${\displaystyle \pi :{\tilde {\mathbb {C} ^{n}}}\to \mathbb {C} ^{n}.}$ 

此态射 ${\displaystyle \pi }$ （或者更常指空间 ${\displaystyle {\tilde {\mathbb {C} ^{n}}}}$ ）称为 ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$  的拉开。

例外除数 ${\displaystyle E}$  定义为 ${\displaystyle Z}$  对态射 ${\displaystyle \pi }$  的逆像。可以证明

${\displaystyle E=Z\times \mathbb {P} ^{n-1}\subseteq \mathbb {C} ^{n}\times \mathbb {P} ^{n-1}}$ 

同构于射影空间。它是个非负除数，而且在 ${\displaystyle E}$  之外 ${\displaystyle \pi :{\tilde {\mathbb {C} ^{n}}}\setminus E\rightarrow \mathbb {C} ^{n}\setminus Z}$  是同构。因此 ${\displaystyle \pi }$  是 ${\displaystyle {\tilde {\mathbb {C} ^{n}}}}$  与 ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$  之同构。

一般来说，我们可以开任何余维为 ${\displaystyle k}$  的复子流形 ${\displaystyle Z\subset \mathbb {C} ^{n}}$ 。设 ${\displaystyle Z}$  由方程式 ${\displaystyle x_{1}=\cdots =x_{k}=0}$ 定义，并设 ${\displaystyle (y_{1}:\ldots :y_{k})}$  为 ${\displaystyle \mathbb {P} ^{k-1}}$  上的齐次坐标。沿 ${\displaystyle Z}$  的拉开 ${\displaystyle {\tilde {\mathbb {C} ^{n}}}}$  定义为方程 ${\displaystyle x_{i}y_{j}=x_{j}y_{i}}$ （对所有 ${\displaystyle i,j}$  ）在空间 ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}\times \mathbb {P} ^{k-1}}$  中定义的闭子集。

进一步推广，我们可拉开任何复流形 ${\displaystyle X}$  的任一复子流形 ${\displaystyle Z}$ ，方式是局部上化约到上述情形，拉开后再予以黏合。效果依然，我们将 ${\displaystyle Z}$  拉开为例外除子 ${\displaystyle E}$ 。而拉开态射

${\displaystyle \pi :{\tilde {X}}\to X}$ 

依然是双有理的，并在 ${\displaystyle E}$  外是同构。 ${\displaystyle E}$  可自然地视作 ${\displaystyle Z}$  的法丛的射影化，因此 ${\displaystyle \pi |_{E}:E\to Z}$  局部上是纤维化映射，其纤维为 ${\displaystyle \mathbb {P} ^{k-1}}$ 。

由于 ${\displaystyle E}$  是平滑除子，其法丛为线丛。对于曲面的情形，可证明 ${\displaystyle E}$  的自相交数为负，这表明其法丛没有整体上定义的截面。${\displaystyle E}$  是其同调类在 ${\displaystyle {\tilde {X}}}$  上的唯一代表，原因在于：假设 ${\displaystyle E}$  经扰动后变为代表同一同调类的另一个复子流形，则它和 ${\displaystyle E}$  的相交数必为正，故矛盾。这是例外除子之所以“例外”之故。

设 ${\displaystyle V}$  维某个 ${\displaystyle X}$  中不等于 ${\displaystyle Z}$  的复子流形。若 ${\displaystyle V}$  不交 ${\displaystyle Z}$ ，则它本质上不受沿 ${\displaystyle Z}$  的拉开影响。然而若有相交，则 ${\displaystyle V}$  在 ${\displaystyle {\tilde {X}}}$  中导出两个几何对象：一者是真变换或称严格变换，它是 ${\displaystyle \pi ^{-1}(V\setminus Z)}$  在 ${\displaystyle {\tilde {X}}}$  中的闭包，其法丛一般与 ${\displaystyle V}$  的不同。另一者是全变换，包含 ${\displaystyle E}$  的全体或一部分，其同调类基本上是 ${\displaystyle V}$  的上同调类之拉回。

拉开可以在一般的概形上定义。令 ${\displaystyle X}$  为一概形，并设 ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$  为其上一凝聚理想层，${\displaystyle X}$  沿 ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$  的拉开是概形 ${\displaystyle {\tilde {X}}}$  及真态射

${\displaystyle \pi :{\tilde {X}}\rightarrow X}$ 

使得 ${\displaystyle \pi ^{-1}{\mathcal {I}}\cdot {\mathcal {O}}_{Y}}$  是可逆层，此拉开由下述泛性质刻划：

对任何态射 ${\displaystyle f:Y\rightarrow X}$ ，若它使得 ${\displaystyle f^{-1}{\mathcal {I}}\cdot {\mathcal {O}}_{Y}}$  是可逆层，则 ${\displaystyle f}$  唯一地透过 ${\displaystyle \pi }$  分解。

此拉开可具体地由

${\displaystyle {\tilde {X}}=\mathbf {Proj} (\oplus _{n=0}^{\infty }{\mathcal {I}}^{n})}$ 

构造。当 ${\displaystyle X}$  是拟射影概形时，${\displaystyle \pi }$  将是射影态射。

与有理映射的关系

与奇点解消的关系

曲面的拉开

在平滑的射影曲面上，任何双有理等价皆可分解为一系列的拉开与缩回。

以下的 Grauert-Mumford 定理是曲面分类中的基本工具：

定理 . 设 ${\displaystyle X}$  为平滑射影曲面，${\displaystyle D=\sum C_{i}}$  为 ${\displaystyle X}$  上一个既约除数，若其相交矩阵 ${\displaystyle (C_{i}\cdot C_{j})_{ij}}$  负定，则 ${\displaystyle X}$  可表成某个代数曲面的拉开，使得 ${\displaystyle D}$  为其例外除数。

相交理论

向法锥变形

向法锥变形的技术可以证明代数几何中的许多结果。给定一个概形 ${\displaystyle X}$  及其闭子概形 ${\displaystyle V}$ ，我们在 ${\displaystyle Y:=X\times \mathbb {A} ^{1}}$  中拉开 ${\displaystyle V\times (0)}$ ，则

${\displaystyle {\tilde {Y}}\to X\times \mathbb {A} ^{1}}$ 

是纤维化映射。沿着 ${\displaystyle \mathbb {A} ^{1}}$  的一般纤维自然同构于 ${\displaystyle X}$ ，而中心纤维则是两个概形的并集：一者是 ${\displaystyle X}$  沿 ${\displaystyle V}$  的拉开；另一者则是 ${\displaystyle V}$  的法锥，其中我们将纤维紧化为射影空间。

辛流形的拉开

拉开也可以在辛流形的范畴中施行，称作辛拉开。方式是将辛流形赋予殆复结构，然后仿照复拉开的模式。然而这仅在拓扑层次上有意义，我们必须小心地为拉开后的空间赋予一个辛形式，因为我们不能任意将辛形式沿例外除数 ${\displaystyle E}$  延拓，而必须在 ${\displaystyle E}$  的一个邻域上修改之；或借着将 ${\displaystyle Z}$  的一个开邻域切下，然后适当地折叠边界以完成拉开。较好的理解方式是利用辛切割的一般理论，其中辛拉开只是个特例。辛切割及其逆操作辛和是沿一平滑除数向法锥变形的类比。

• Fulton, William. Intersection Theory. Springer-Verlag. 1998.  
• Griffiths, Phillip and Harris, Joseph. Principles of Algebraic Geometry. John Wiley & Sons. 1978. ISBN 978-0-471-32792-9. 
• Hartshorne, Robin. Algebraic Geometry. Springer-Verlag. 1977.  
• McDuff, Dusa and Salamon, Dietmar. Introduction to Symplectic Topology. Oxford University Press. 1998. ISBN 978-0-19-850451-1.