法丛

黎曼流形

设${\displaystyle (M,g)}$ 是一个黎曼流形，${\displaystyle S\subset M}$ 是一个黎曼子流形。对给定的${\displaystyle p\in S}$ ，一个向量${\displaystyle n\in \mathrm {T} _{p}M}$ 定义为${\displaystyle S}$ 的法向量，如果${\displaystyle g(n,v)=0}$ 对所有${\displaystyle v\in \mathrm {T} _{p}S}$ （从而${\displaystyle n}$  正交于${\displaystyle \mathrm {T} _{p}S}$ ）。这样的${\displaystyle n}$ 的集合${\displaystyle \mathrm {N} _{p}S}$ 称之为${\displaystyle S}$ 在${\displaystyle p}$ 的法空间。

就像一个流形的切丛是由流形的所有切空间构造的，${\displaystyle S}$ 的法丛的全空间${\displaystyle \mathrm {N} S}$ 定义为

${\displaystyle \mathrm {N} S:=\coprod _{p\in S}\mathrm {N} _{p}S.\,}$ 

余法丛定义为法丛的对偶丛。它可以自然实现为余切丛的子丛。

一般定义

更抽象地，给定一个浸入${\displaystyle i\colon N\to M}$ （比如嵌入），我们可以定义N在M中的法丛，在每一点取M上的切丛对N的切丛的商空间。对黎曼流形我们可将商与正交补等同，但一般不可行（这样一种选取等价于投影${\displaystyle V\to V/W}$ 的一个截面）。

从而法丛一般是周围空间对限制在子丛上切丛的商。

正式地，N在M中的法丛是M的切丛的一个商丛： 我们有N上向量丛的短正合序列：

${\displaystyle 0\to TN\to TM\vert _{i(N)}\to T_{M/N}:=TM\vert _{i(N)}/TN\to 0}$ 

这里${\displaystyle TM\vert _{i(N)}}$ 是M的切丛限制在N上（准确地说，M的切丛${\displaystyle i^{*}TM}$ 通过映射${\displaystyle i}$  拉回到N上）。

抽象流形由一个典范切丛，但没有法丛：只有当一个流形嵌入（或浸入）另一个流形时诱导了一个法丛。但是，由惠特尼嵌入定理，每个紧流形可以嵌入在${\displaystyle \mathbf {R} ^{N}}$ 中，给了这样一个嵌入，每个流形有一个法丛。

一般没有自然的嵌入方式，但对给定的M，任何两个嵌入在${\displaystyle \mathbf {R} ^{N}}$ 中，对足够大N是正则同伦的，从而诱导了相同的法丛。所得的法丛类（这是一个丛的类而不是一个特定的丛，因为N可以变）称为稳定法丛（英语：stable normal bundle）。

法丛在K-理论的意义下对偶于切丛： 由上一个短正合序列，在格罗滕迪克群中

${\displaystyle [TN]+[T_{M/N}]=[TM].\,}$ 

浸入在${\displaystyle \mathbf {R} ^{N}}$ 中的情形，周围空间的法丛是平凡的（由于${\displaystyle \mathbf {R} ^{N}}$ 可缩，从而可平行化），故${\displaystyle [TN]+[T_{M/N}]=0}$ ，从而${\displaystyle [T_{M/N}]=-[TN]}$ 。

这在计算示性类时有用，可用于证明一个流形可浸入和可嵌入欧几里得空间中的下界。