奈格尔点

欧几里得几何中，任一个三角形伴随有一个奈格尔点（Nagel）。平面内一个三角形ABC具有边长a = |BC|，b = |CA|，和c = |AB|，设T_A，T_B，和T_C分别是三旁切圆和三条边的切点。直线AT_A，BT_B，CT_C 共点交于三角形ABC的奈格尔点N。奈格尔点以十九世纪德国数学家Christian Heinrich von Nagel（德语：Christian Heinrich von Nagel）命名，他在1836年提到这个点。

三角形（黑色）的奈格尔点（蓝色N）。红色三角形是外接三角形，橘色圆是旁切圆

另外一种方法构造T_A，从点A出发沿着三角形ABC的边走到半周长位置，类似的得到T_B和T_C。因为这个构造，奈格尔点有时也被称为平分周长点（或译界心）。

和其余特殊点的关系

奈格尔点是热尔岗点的等截共轭点。奈格尔点、内心和重心三点共线。内心是中点三角形的奈格尔点（匿名1896年），等价地说奈格尔点是反补三角形的内心。

三线坐标

奈格尔点的三线坐标由Gallatly（1913年）给出：

\csc ^{2}(A/2)\,:\,\csc ^{2}(B/2)\,:\,\csc ^{2}(C/2)

或等价的

{\frac {b+c-a}{a}}\,:\,{\frac {c+a-b}{b}}\,:\,{\frac {a+b-c}{c}}.

参考文献

匿名. Problem 73. 美国数学月刊. 1896, 3 (12): 329.

Baptist, Peter. Historische Anmerkungen zu Gergonne- und Nagel-Punkt. Sudhoffs Archiv für Geschichte der Medizin und der Naturwissenschaften. 1987, 71 (2): 230–233. MR0936136.

Gallatly, William. The Modern Geometry of the Triangle 2nd ed. London: Hodgson. 1913: page 20.

外部链接

Nagel Point（页面存档备份，存于互联网档案馆） from Cut-the-knot
Nagel Point（页面存档备份，存于互联网档案馆）, Clark Kimberling
埃里克·韦斯坦因. Nagel Point. MathWorld.
Nagel Point proof with animation and sound（页面存档备份，存于互联网档案馆）