三格骨牌

三格骨牌（Tromino），又称三连块，是一种多格骨牌，每块以三个全等的正方形连成[1]，若一骨牌翻面或是旋转后，仍视为同一种骨牌的话，共有两种三格骨牌，可以由英文字母I和L代表（L有时也会表示为V）。

所有的三格骨牌

若一骨牌翻面后的形状和原来不同时，可以不视为同一种骨牌，但由于二种三格骨牌都是轴对称，骨牌翻面之后图案都和原来相同，因此仍然只有二种三格骨牌。若一骨牌翻面或是旋转后形状和原来不同，可以不视为同一种骨牌，I形骨牌可以旋转90度，而L形骨牌可以旋转90度、180度及270度，再加上原来的二种，这样就会有六种三格骨牌[2][3]。

三格骨牌定理

 
三格L形骨牌自分割问题

若在2n×2n的棋盘抽走其中一个单位正方形，剩下的图形可被一定数量的L形三格骨牌互不重叠地覆盖。

这个定理由多格骨牌的发明人——一名22岁的哈佛学生Solomon Golomb提出[4]。

证明

使用数学归纳法：

当n=1：从2×2的棋盘抽走一个单位正方形，必定是一个L形三格骨牌，它自然可被L形三格骨牌覆盖。

假设在2n×2n的棋盘抽走其中一个单位正方形，剩下的图形可被完全覆盖：

  1. 将2n+1×2n+1棋盘分成四个2n×2n的部分。
  2. 将不包含没有抽走单位正方形的三个部分，各在接近2n+1×2n+1棋盘中心的角上抽走一个单位正方形。
  3. 这三个单位正方角就组成一个L形三格骨牌。
  4. 根据假设，剩下的四个被抽走一个单位正方形的2n×2n的部分，都可被完全覆盖。

当2n×2n可被完全覆盖时，2n+1×2n+1也可。

三格L形骨牌自分割问题

三格L形骨牌有一个特点，L形骨牌可以分割为四个长度只有原来一半的L形骨牌，若将骨牌再往下分割，可以分割为4n片大小更小的骨牌。

若针对任何的数字n，也可以将三格L形骨牌分割为n2片较小的三格L形骨牌。

参考资料

  1. ^ Golomb, Solomon W. Polyominoes 2nd. Princeton, New Jersey: Princeton University Press. 1994. ISBN 0-691-02444-8. 
  2. ^ Weisstein, Eric W. (编). Triomino. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. [2009-12-05]. （原始内容存档于2009-11-29） （英语）. 
  3. ^ Redelmeier, D. Hugh. Counting polyominoes: yet another attack. Discrete Mathematics. 1981, 36: 191–203. doi:10.1016/0012-365X(81)90237-5. 
  4. ^ Golomb's inductive proof of a tromino theorem at cut-the-knot. [2006-01-21]. （原始内容存档于2006-09-28）. 

外部链接