H square

一般而言，单位圆盘内L²空间的元素可以表示为

${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}e^{in\varphi }}$ 

而H²空间的元素可以表示为

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}e^{in\varphi }.}$ 

从L²空间到H²空间的映射（令n < 0时的a_n = 0）是orthogonal映射。

拉氏转换 ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ 

${\displaystyle [{\mathcal {L}}f](s)=\int _{0}^{\infty }e^{-st}f(t)dt}$ 

可以理解为以下的线性算子

${\displaystyle {\mathcal {L}}:L^{2}(0,\infty )\to H^{2}\left(\mathbb {C} ^{+}\right)}$ 

其中${\displaystyle L^{2}(0,\infty )}$ 为正实数线上平方可积函数的集合，且${\displaystyle \mathbb {C} ^{+}}$ 为复平面的右半平面，而且拉氏转换也是同构（因为其可逆），而且等距同构，因为满足下式

${\displaystyle \|{\mathcal {L}}f\|_{H^{2}}={\sqrt {2\pi }}\|f\|_{L^{2}}.}$ 

拉氏转换是「半个」傅立叶转换，因为以下的分解

${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )=L^{2}(-\infty ,0)\oplus L^{2}(0,\infty )}$ 

可以得到${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$ 正交分解成两个哈代空间

${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )=H^{2}\left(\mathbb {C} ^{-}\right)\oplus H^{2}\left(\mathbb {C} ^{+}\right).}$ 

在本质上就是培力-威纳定理（英语：Paley-Wiener theorem）。

• H_∞

• Jonathan R. Partington, "Linear Operators and Linear Systems, An Analytical Approach to Control Theory", London Mathematical Society Student Texts 60, (2004) Cambridge University Press, ISBN 0-521-54619-2.