泊松求和公式

泊松求和公式英文Poisson Summation Formula)由法国数学家泊松所发现,它陈述了一个连续时间的信号,做无限多次的周期复制后,其傅立叶级数与其傅立叶转换之间数值的关系,亦可用来求周期信号的傅立叶转换。

公式的形式

 是一个连续时间的信号,做无限次的周期复制之后,产生 ,可由此推导出泊松求和公式。

泊松求和公式陈述 。其中 

推导泊松求和公式所需的先备公式

考虑狄拉克δ函数 ,制作一个有无限多个 ,且间隔为 的周期函数 

其傅立叶转换为①  

证明①转换对

 =  = 

证明②转换对

 为周期函数 的傅立叶级数。

 可表示为 

傅立叶级数得:

 

因此, 

得到等式:  

经由适当的变量代换,  代换,  代换,得 (因为n从负无限大到正无限大)

推导泊松求和公式

从对频域做取样寻找关系式

 

 

 

 

 

 

 

 

 时,得 

表示一个信号的在时域以 为间隔做取样,在频域以 为间隔做取样,则两者的所有取样点的总和会有 倍的关系。


从对时域做取样寻找关系式

 

 

 

 

 

 

 

 

 时,得 

表示一个信号的在时域以 为间隔做取样,在频域以 为间隔做取样,则两者的所有取样点的总和会有 倍的关系。


综合上述,若时域取样间隔 时,同样地,频域取样间隔 时,得泊松求和公式 

周期信号的傅立叶转换

考虑一个周期为 的周期信号   傅立叶转换,取出g(t)在区间 的一个完整周期 ,亦即   傅立叶转换,其中 矩形函数  傅立叶级数

 

 

 

 

得出一周期信号的傅立叶转换与其傅立叶级数之间的关系。