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泊松求和公式(英文:Poisson Summation Formula)由法国数学家泊松所发现,它陈述了一个连续时间的信号,做无限多次的周期复制后,其傅立叶级数与其傅立叶转换之间数值的关系,亦可用来求周期信号的傅立叶转换。
公式的形式
是一个连续时间的信号,做无限次的周期复制之后,产生 ,可由此推导出泊松求和公式。
泊松求和公式陈述 。其中 。
推导泊松求和公式所需的先备公式
考虑狄拉克δ函数 ,制作一个有无限多个 ,且间隔为 的周期函数 。
其傅立叶转换为① ②
证明①转换对
=
= 。
证明②转换对
设 为周期函数 的傅立叶级数。
可表示为 。
由傅立叶级数得:
。
因此, 。
得到等式: ,
经由适当的变量代换, 以 代换, 以 代换,得 (因为n从负无限大到正无限大)
推导泊松求和公式
从对频域做取样寻找关系式
当 时,得 ,
表示一个信号的在时域以 为间隔做取样,在频域以 为间隔做取样,则两者的所有取样点的总和会有 倍的关系。
从对时域做取样寻找关系式
当 时,得 ,
表示一个信号的在时域以 为间隔做取样,在频域以 为间隔做取样,则两者的所有取样点的总和会有 倍的关系。
综合上述,若时域取样间隔 时,同样地,频域取样间隔 时,得泊松求和公式 。
周期信号的傅立叶转换
考虑一个周期为 的周期信号 , 为 的傅立叶转换,取出g(t)在区间 的一个完整周期 ,亦即 , 是 的傅立叶转换,其中 是矩形函数。 是 的傅立叶级数。
则
得出一周期信号的傅立叶转换与其傅立叶级数之间的关系。