贝尔级数贝尔级数是数论上一种研究算术函数的工具。它是形式幂级数。 给定算术函数f和质数p，f模p的贝尔级数为 f p ( x ) = ∑ i = 0 ∞ f ( p n ) x n {\displaystyle f_{p}(x)=\sum _{i=0}^{\infty }f(p^{n})x^{n}} 唯一定理：对于任意质数p，若两个积性函数模p的贝尔级数都相等，则这两个函数是相等的。 对于两个算术函数的狄利克雷卷积，有 ( f ∗ g ) p ( x ) = f p ( x ) × g p ( x ) {\displaystyle {(f*g)_{p}}(x)=f_{p}(x)\times g_{p}(x)} 。 一个完全积性函数的贝尔级数为几何级数： f p ( x ) = 1 1 − f ( p ) x {\displaystyle f_{p}(x)={\frac {1}{1-f(p)x}}} 。例子 以下是一些常见的算术函数的贝尔级数。 默比乌斯函数 μ {\displaystyle \mu } 的 μ p ( x ) = 1 − x . {\displaystyle \mu _{p}(x)=1-x.} 欧拉函数 ϕ {\displaystyle \phi } 的 ϕ p ( x ) = 1 − x 1 − p x . {\displaystyle \phi _{p}(x)={\frac {1-x}{1-px}}.} 刘维尔函数 λ {\displaystyle \lambda } 的 λ p ( x ) = 1 1 + x . {\displaystyle \lambda _{p}(x)={\frac {1}{1+x}}.} 因子函数 σ k {\displaystyle \sigma _{k}} 的 ( σ k ) p ( x ) = 1 1 − σ k ( p ) x + p k x 2 . {\displaystyle (\sigma _{k})_{p}(x)={\frac {1}{1-\sigma _{k}(p)x+p^{k}x^{2}}}.} 参考 Introduction to Analytic Number theory, Tom M. Apostol
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