肯普纳级数

许多文献中，级数未有命名。^[4]MathWorld用Kempner series为条目名。^[5]朱利安·哈维尔所著《伽玛》（论欧拉-马斯刻若尼常数）亦采用同一名称。^[6]:31–33

肯普纳对数列收敛之证明^[1]，载于若干教科书，如哈代与赖特合著《数论导论》^[7]:120，亦是阿波斯托《数学分析》的习题^[8]:212。证明如下。

将级数各项按分母的位数分组。由乘法原理，缺“9”的${\displaystyle n}$ 位正整数共有${\displaystyle 8\times 9^{n-1}}$ 个，因为最高位有8个选择（1至8，首位不为零），而其后${\displaystyle n-1}$ 位，每位有9种选择（0至8），且各位的选择互相独立。任何${\displaystyle n}$ 位数皆不小于${\displaystyle 10^{n-1}}$ ，故其倒数至多为${\displaystyle 10^{1-n}}$ 。所以，缺“9”的${\displaystyle n}$ 位正整数之倒数，对级数的贡献，至多是${\displaystyle 8\times \left({\frac {9}{10}}\right)^{n-1}}$ 。因此，将各组贡献加总，全个级数至多为

${\displaystyle 8\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {9}{10}}\right)^{n-1}=80.}$ 

若将禁止出现的“9”换成其他非零数字，则同样的论证仍成立。至于缺“0”的情况，缺“0”的${\displaystyle n}$ 位正整数共有${\displaystyle 9^{n}}$ 个，故缺“0”正整数的倒数和至多为：

${\displaystyle 9\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {9}{10}}\right)^{n-1}=90.}$ 

若删去含有某串${\displaystyle k}$ 位子字串的项，例如忽略所有分母含子字串“42”的项，则级数同样收敛。证明方法几乎一样^[3]，先观察在${\displaystyle 10^{k}}$ 进制中，删去含有该字串为“位”的项，则前述证明适用，证出新级数收敛。但是，新级数比欲证收敛的级数更大，原因是欲证收敛的级数中，不仅删走以该字串为${\displaystyle 10^{k}}$ 进制位的项，还删走了跨${\displaystyle 10^{k}}$ 进制位而含该字串的项。接续前一个例子，百进制的新级数略过4217（百进制的首位是42）和1742（百进制的末位是42），但未略过1427，而欲证收敛的级数中，连1427也一并略去。

巴基尔·法喜^[9]研究恰有${\displaystyle n}$ 个数字${\displaystyle d}$ （满足${\displaystyle 0\leq d\leq 9}$ ）的正整数倒数和${\displaystyle S(d,n)}$ ，此为肯普纳级数的推广，因为原级数即为${\displaystyle S(9,0)}$ 。法喜证明，对每个${\displaystyle d}$ ，数列${\displaystyle S(d,n)}$ 由${\displaystyle n=1}$ 起取值递减，且当${\displaystyle n}$ 趋向无穷大时，收敛到${\displaystyle 10\ln 10}$ 。不过，数列一般并非由${\displaystyle n=0}$ 起递减，例如原级数值为${\displaystyle S(9,0)\approx 22.921<23.026\approx 10\ln 10}$ ，比${\displaystyle n\geq 1}$ 时任意一个${\displaystyle S(9,n)}$ 更小。

级数收敛得很慢。贝利^[2]写道，即使计算前10²⁴项和，其后余项仍超过1。^[10]

80是很粗略的上界。弗兰克·厄文较仔细地分析后^[11]，证明级数值接近23。此后，再由贝利改进到前述的22.92067…。^[2]

贝利^[2]以${\displaystyle s(i,j)}$ 表示缺某指定数字的所有${\displaystyle i}$ 位正整数的${\displaystyle j}$ 次方倒数和，然后推导出，只要有齐${\displaystyle s(i,j+n)}$ 对所有非负整数${\displaystyle n}$ 的值，就能递归计算${\displaystyle s(i+1,j)}$ 。于是，祗需较少的计算，已得到原级数${\displaystyle s(1,1)+s(1,2)+\cdots }$ 的准确估计。

• 倒数和收敛
• 倒数和列表（英语：List of sums of reciprocals）