离散正弦变换(DST for Discrete Sine Transform)是一种与傅立叶变换相关的变换,类似离散傅立叶变换,但是只用实数矩阵。离散正弦变换相当于长度约为它两倍,一个实数且奇对称输入资料的的离散傅立叶变换的虚数部分(因为一个实奇输入的傅立叶变换为纯虚数奇对称输出)。有些变型里将输入或输出移动半个取样。
一种相关的变换是离散余弦变换,相当于长度约为它两倍,实偶函数的离散傅立叶变换。参考DCT本文有关边界条件和不同的DCT和DST关联的一般讨论。
应用
离散正弦变换常被用来由谱方法解偏微分方程,这时候离散正弦变换的不同的变数对应着两端不同的奇/偶边界条件。
定义
形式上,离散正弦变换是一个线性的可逆函数 ,其中R为实数集,或等价的说是一个 方阵。离散正弦变换有几种稍微不同定义的变形,皆根据以下公式之一把 个实数 变换到另 个实数 。
DST-I
-
一个DST-I矩阵为正交矩阵(差一个系数)。
的实数abc的DST-I变换等价于8点实数0abc0(-c)(-b)(-a)(奇对称)的DFT转换,再除2(而DST-II~DST-IV等价于DFT有半个取样的位移)。
因而DST-I对应的边界条件是: 对 奇对称,也对 奇对称; 也类似。
DST-II
-
DST-III
-
DST-IV
-
一个DST-IV矩阵为正交矩阵(差一个系数)。
DST V-VIII
反变换
DST-I的反变换是把DST-I乘以 。
DST-IV的反变换是把DST-IV乘以 。
DST-II的反变换是把DST-III乘以 ,反之亦然。
类似离散傅立叶变换,这些定义前面的归一系数只是习惯,不同人有不同定义。例如有人在变换前面乘 ,使反变换和变换在形式上更相似,而不需另外的归一系数。
计算
相关条目
参考资料
- S. A. Martucci, "Symmetric convolution and the discrete sine and cosine transforms," IEEE Trans. Sig. Processing SP-42, 1038-1051 (1994).
- Matteo Frigo and Steven G. Johnson: FFTW, http://www.fftw.org/ (页面存档备份,存于互联网档案馆). A free (GPL) C library that can compute fast DSTs (types I-IV) in one or more dimensions, of arbitrary size. Also M. Frigo and S. G. Johnson, "The Design and Implementation of FFTW3," Proceedings of the IEEE 93 (2), 216–231 (2005).
外部链接