稳定小波转换

下图是稳定小波转换的数位实现模型

每一组高通滤波器和低通滤波器皆为提升取样后的前一组高通滤波器及低通滤波器，可以下图表示：

以数学形式来呈现稳定小波转换滤波器提升取样的设计概念:

令${\displaystyle Z}$ 为一将${\displaystyle 0}$ 加入${\displaystyle x}$ 序列的运算，

${\displaystyle (Z_{x})_{k}}$ ${\displaystyle =x_{k/2},}$  for ${\displaystyle k=2,4,6,8...}$ 

${\displaystyle (Z_{x})_{k}}$ ${\displaystyle =0,}$  for ${\displaystyle k=1,3,5,7...}$ 

我们可以将第${\displaystyle j}$ 阶的高通滤波器${\displaystyle h_{j}[n]}$ 表示成:
${\displaystyle h_{j}[n]=Zh_{j-1}[n]=Z^{2}h_{j-2}[n]=...=Z^{j-1}h_{1}[n]}$ 
同样的，我们可以将第${\displaystyle j}$ 阶的低通滤波器${\displaystyle g_{j}[n]}$ 表示成:
${\displaystyle g_{j}[n]=Zg_{j-1}[n]=Z^{2}g_{j-2}[n]=...=Z^{j-1}g_{1}[n]}$ 
注意经过提升取样后，${\displaystyle g_{j}[n]}$ 的序列长度为原来${\displaystyle g_{j-1}[n]}$ 的两倍。

1. 原始信号与高通滤波器做旋积分之后会得到此信号中高频的成分。此高频的成分为第一个高频的输出。
   
2. 原始信号与低通滤波器做旋积分后会得到信号中低频的成分，此低频的成分再作为下一阶滤波器的输入。

重复上述两个步骤，即可将信号作多阶的稳定小波转换。

而经过${\displaystyle j}$ 组的高通滤波器和低通滤波器组合之后，第${\displaystyle j}$ 阶的结果:

${\displaystyle x_{j,L[n]}=x_{j-1,L[n]}*g_{j}[n]}$ 
${\displaystyle x_{j,H[n]}=x_{j-1,L[n]}*h_{j}[n]}$ 

下面是利用Matlab的离散小波转换的函式，稍作调整后的一维稳定小波转换范例:

[tmpAPP,tmpDET] = 
dwt(A(j,ε1, ,ɛj),wname,'mode','per','shift',ɛj+1); 
A(j+1,ɛ1, ,ɛj,ɛj+1) = wshift('1D',tmpAPP,ɛj+1);
D(j+1,ɛ1, ,ɛj,ɛj+1) = wshift('1D',tmpDET,ɛj+1);

参考:MatlabWorks-Discrete Stationary Wavelet Transform (SWT) （页面存档备份，存于互联网档案馆）

稳定小波转换在讯号处理上有一些应用：

• 降低信号噪声(Signal denoising)
• 样式辨认
• 信号抵达方向性(Direction of Arrival （页面存档备份，存于互联网档案馆）, DOA)估计
• 信号重建(Signal regeneration)

以下的几种转换或演算，皆为略过离散小波转换的缩减取样步骤，只是随着提出的时间而有相异的名字

• 稳定小波转换 (Stationary Wavelet Transform)
• 冗余小波转换 (Redundant Wavelet Transform)
• à trous算法 (Algorithme à trous)
• 准连续小波转换 (Quasi-continuous wavelet transform)
• 平移不变量小波转换 (Translation invariant wavelet transform)
• 转移不变量小波转换 (Shift invariant wavelet transform)
• 循环平移算法 (Cycle spinning)
• 最大重复离散小波转换 (Maximal overlap discrete wavelet transform, MODWT)
• 非抽样小波转换 (Undecimated wavelet transform, UWT)

• P. P. Viadyanathan, Multirate Systems and Filter Banks, Prentice Hall, 1993, ISBN 0-13-605718-7
• G. P. Nason and B. W. Silverman, The stationary wavelet transform and some statistical applications, Lecture Notes in Statistics
• M.V. Tazebay and A.N. Akansu, Progressive Optimality in Hierarchical Filter Banks, Proc. IEEE International Conference on Image Processing (ICIP), Vol 1, pp. 825-829, Nov. 1994
• P. Dutilleux, An implementation of the algorithme à trous to compute the wavelet transform, in Wavelets: Time-Frequency Methods and Phase Space, J.-M. Combes, A. Grossman, and P. Tchamitchian,Eds. Berlin, Germany: Springer-Verlag, 1989, pp. 298–304.