升采样

以L整数倍插值的过程可以被分解为两个步骤的过程，分解成两部的过程会让升采样在实作上更为有效率：

1. 创造一个数列,${\displaystyle \scriptstyle x_{L}[n],}$  是由原来的采样点, ${\displaystyle \scriptstyle x[n],}$  以中间间格L-1个零点方式构成。
2. 将不连续的点以低通滤波器平滑化，平滑化的结果会使零点消失。

在升采样的应用当中，这个低通滤波器称为插值滤波器，如何设计插值滤波器会在下列段落中讨论。

若用有限冲激响应的方式设计插值滤波器，硬件效率会被提升，因为第一个步骤中插入的零点对于计算内积不会有任何的贡献或影响，可以很轻易地直接在取资料或计算过程中省略掉与零点相关的资料点或计算过程。经由有效率的有限冲激响应数字滤波器过滤后，每个输出采样点的计算公式为两个串行的内积：

${\displaystyle y[j+nL]=\sum _{k=0}^{K}x[n-k]\cdot h[j+kL],\ \ j=0,1,...L-1,}$ 

其中 h[•] 串行是插值滤波器的冲激响应，K是使 h[j+kL] 不为零的最大值，在这个例子中L=2, h[•] 可以被设计成半频滤波器，半频滤波器有将近一半的冲激响应系数为零，在计算内积的过程中这些零点可以被直接忽略。每隔L点采样冲激响应的采样点组成一组次串行，在这个例子中，我们有L组这样的次串行（称为项位）同时多工处理，每个冲激响应的次串行对相同的资料串行x[•]进行虑波，产生长度为L的串行y[•]的一个采样点。在多处理器的架构下，这些内积可以被平行化计算，在这样的架构下我们称这个低通滤波器为多项位滤波器。

令X(f)为任何方程式,x(t)的傅里叶变换，x(t)以采样周期为T的间隔采样出来的点等价于x[n]串行，x[n]串行的离散时间傅里叶变换为x(f)周期性叠加的傅里叶级数表示:

${\displaystyle \underbrace {\sum _{n=-\infty }^{\infty }\overbrace {x(nT)} ^{x[n]}\ e^{-i2\pi fnT}} _{\text{DTFT}}={\frac {1}{T}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }X(f-k/T).}$

(公式1)

当T的单位为秒，f的单位为赫兹。以L倍快的速率(以T/L的间隔)采样使采样频率增加了L倍:

${\displaystyle {\frac {L}{T}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }X\left(f-k\cdot {\frac {L}{T}}\right),}$

(公式2)

这个公式代表插值过后的结果，作为例子，这两个公式的表示结果可以由图一中最上面的两张图所见。

当资料串行被插入额外的零点后，这些零点增加资料数率，但他们并不会对频谱上的分布造成影响，当这些零点被插值滤波器取代后影响才会显现。

许多滤波器设计的方法使用频率的单位为周期数／采样点，这个单位可以根据新的资料速率(L/T)经由频率的标准化得到。对频率标准化的结果可由图一的第三图所示，其中同样标示出让第三张图类似于第二张图所需要的插值滤波器的通带，这个插值滤波器的截止频率为  ${\displaystyle {\tfrac {0.5}{L}}.}$ ，以实际频率换算，截止频率为 ${\displaystyle {\tfrac {0.5}{T}}}$  赫兹，这个频率为原来资列串行的奈奎氏采样频率。

运用Z变换可以得到相同的结果，受限于复数变数 ${\displaystyle z=e^{i\omega }.}$   的限制，得到的变换为相同的傅里叶级数但频率标准化的频率不同，与公式1比较，我们推论出：

${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]\ z^{-n}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]\ e^{-i\omega n}={\frac {1}{T}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\underbrace {X\left({\tfrac {\omega }{2\pi T}}-{\tfrac {k}{T}}\right)} _{X\left({\frac {\omega -2\pi k}{2\pi T}}\right)},}$ 

这个结果可以由图一中第四张图所见，当零点插入到资料串行中，Z变换的形式变成：

${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]\ z^{-nL}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]\ e^{-i\omega Ln}={\frac {1}{T}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\underbrace {X\left({\tfrac {\omega L}{2\pi T}}-{\tfrac {k}{T}}\right)} _{X\left({\frac {\omega -2\pi k/L}{2\pi T/L}}\right)},}$ 

这个结果可以由图一中最下方的图所见，在横轴中，有效的资料速率永远为常数 2π (radians/sample) (径度／采样)而不是1，在这个单位下，插值滤波器的带宽为 π/L, 如最下方的图所示，这个值对应到的物理频率为  ${\displaystyle {\tfrac {\pi }{L}}\cdot {\tfrac {L}{2\pi T}}={\tfrac {0.5}{T}}}$   赫兹，等于原始资料频率的奈奎氏采样速率。

令 M/L代表降采样因子，M,L都是整数，M>L

1. 以L倍频率升采样
2. 以1/M倍频降采样

升采样的过程需要低通滤波器过滤资料数率增加的信号，降采样的过程需要低通滤波器过滤输入信号，因此这两个滤波过程可以被和而为一，借由用单一个低通滤波器取代，此单一低通滤波器的截止频率为两者低通滤波器的低者。当L > M,插值滤波器的截止频率，  ${\displaystyle {\tfrac {0.5}{L}}}$  （周期数／采样），会是较低的频率。

• 数字信号处理
• 插值
• 采样
• 降采样

• Oppenheim, Alan V.; Schafer, Ronald W.; Buck, John R. Discrete-Time Signal Processing 2nd. Prentice Hall. 1999. ISBN 0-13-754920-2. 
• Proakis, John G. Digital Signal Processing: Principles, Algorithms and Applications 3rd. India: Prentice-Hall. 2000. ISBN 8120311299.