艾森斯坦判别法

给定多项式g(x) = 3x⁴ + 15x² + 10，试确定它能否分解为有理系数多项式之积。

试用艾森斯坦判别法。素数2和3都不适合，考虑素数p = 5。5整除x的系数15和常数项10，但不整除首项3。而且5² = 25不整除10。所以g(x)在有理数域不可约。

有时候不能直接用判别法，或者可以代入y = x + a后再使用。

例如考虑h(x) = x² + x + 2。这多项式不能直接用判别法，因为没有素数整除x的系数1。但把h(x)代入为h(x + 3) = x² + 7x + 14，可立刻看出素数7整除x的系数和常数项，但7² = 49不整除常数项。所以有时通过代入便可以用到判别法。

艾森斯坦判别法得出的一个著名结果如下：

对素数p，p阶分圆多项式

${\displaystyle {\frac {x^{p}-1}{x-1}}=x^{p-1}+x^{p-2}+\cdots +x+1}$ 

在有理数域不可约。

要使用艾森斯坦判别法，先作代换x = y + 1。新的常数项是p，除首项是1外，其他项的系数是二项式系数${\displaystyle {p \choose k}={\frac {p!}{k!(p-k)!}}}$ ，k大于0，所以可以被p除尽。

对多项式f(x)取模p，也就是把它的系数映射到有限体${\displaystyle \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }$ 上。这样它便化为${\displaystyle c\,x^{n}}$ ，其中c为非零常数。因为在体上的多项式有唯一分解，f模p时会分解为单项式。

如果f是在有理数上可约的，那么会有多项式g, h使得f = g h。从上可知g和h取模p分别为${\displaystyle d\,x^{k}}$ 和${\displaystyle e\,x^{n-k}}$ ，满足c = d e。因为g和h模p的常数项为零，这表示g和h的常数项均可被p整除，所以f的常数项a₀可以被p²整除，与f系数的假设矛盾。因此得证。

依据牛顿图的理论在其p进制数域，我们考虑一系列点的下凸集。

(0,1), (1, v₁), (2, v₂), ..., (n − 1, v_n-1), (n,0),

其中v_i是a_i关于p的最高次幂。对于一个艾森斯坦多项式，对0 < i < n,v_i至少为1，v₀ =1 v_n=0，固而它的牛顿图即点列的下凸集应当是一条从(0,1) to (n,0)的线段，其斜率为−1/n。