点灯夫群

在群论中，点灯夫群（英语：Lamplighter group）是两个群${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$和${\displaystyle \mathbb {Z} }$的圈积${\displaystyle (\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )\wr \mathbb {Z} }$，也可以表示为两个群${\displaystyle \bigoplus _{\mathbb {Z} }(\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )}$和${\displaystyle \mathbb {Z} }$的半直积

${\displaystyle \left(\bigoplus _{\mathbb {Z} }(\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )\right)\rtimes \mathbb {Z} }$

其中${\displaystyle \mathbb {Z} }$以平移作用于${\displaystyle \bigoplus _{\mathbb {Z} }(\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )}$。

点灯夫群是有限生成群，不过并非有限展示的。点灯夫群有如下标准展示：

${\displaystyle \langle a,t\mid a^{2},[t^{i}at^{-i},t^{j}at^{-j}],i,j\in \mathbb {Z} \rangle }$

点灯夫群的名称来自以下阐释：假设有一列向左右无限伸延的街灯及一个点灯夫。每盏街灯有明和暗两种状态。起初点灯夫在原点处的街灯下，而所有灯都关了。点灯夫群的元素，可视为对点灯夫的指示：把元素用a, t写成一个字，然后从左到右读，如果是a，点灯夫把面前的街灯点亮或者熄灭；如果是t，点灯夫向右移到下一个街灯；如果是t^-1，点灯夫向左移到下一个街灯。这样每个元素就代表街灯的状态及点灯夫的位置。^[1]

点灯夫群特别之处，在于这个群是可均群（因为是可解群），却有指数增长率。^[2]