球谐函数表

这里列出球谐函数 ${\displaystyle Y_{l}^{m}}$ ，以方程式表示为

${\displaystyle Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )={\sqrt {{(2\ell +1) \over 4\pi }{(\ell -m)! \over (\ell +m)!}}}\,P_{\ell }^{m}(\cos {\theta })\,e^{im\varphi }}$ ；

其中，${\displaystyle l}$ 为正值整数，${\displaystyle m}$ 为小于或等于 ${\displaystyle l}$ 的正值整数，${\displaystyle P_{\ell }^{m}}$ 是伴随勒让德多项式，以方程式表示为

${\displaystyle P_{\ell }^{m}(x)=(-1)^{m}(1-x^{2})^{m/2}{\frac {\mathrm {d} ^{m}P_{\ell }(x)}{\mathrm {d} x^{m}}}}$ 。

表内有些方程式也给出直角坐标版本。球坐标与直角坐标之间的变换关系是

${\displaystyle x=r\sin \theta \cos \varphi \,}$ 、

${\displaystyle y=r\sin \theta \sin \varphi \,}$ 、

${\displaystyle z=r\cos \theta \,}$ 。