正交性
与勒让德多项式一样,连带勒让德多项式在区间 [-1,1] 上也满足正交性。
∫
−
1
1
P
l
m
(
x
)
P
k
m
(
x
)
d
x
=
(
l
+
m
)
!
(
l
−
m
)
!
2
2
l
+
1
δ
k
l
{\displaystyle \int _{-1}^{1}P_{l}^{m}(x)P_{k}^{m}(x)\mathrm {d} x={\frac {(l+m)!}{(l-m)!}}{\frac {2}{2l+1}}\delta _{kl}}
这是因为,与勒让德方程一样,连带勒让德方程也是施图姆-刘维尔型 的:
{
m
2
1
−
x
2
−
d
d
x
[
(
1
−
x
2
)
d
d
x
]
}
P
l
m
(
x
)
=
λ
P
l
m
(
x
)
,
λ
=
l
(
l
+
1
)
,
l
∈
Z
0
+
{\displaystyle \left\{{\frac {m^{2}}{1-x^{2}}}-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left[(1-x^{2}){\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\right]\right\}P_{l}^{m}(x)=\lambda P_{l}^{m}(x),\quad \lambda =l(l+1),l\in \mathbb {Z} _{0}^{+}}
正交性的另一种表述如下,它与下面提到的球谐函数有关。
∫
0
π
P
l
m
(
cos
θ
)
P
k
m
(
cos
θ
)
sin
θ
d
θ
=
(
l
+
m
)
!
(
l
−
m
)
!
2
2
l
+
1
δ
k
l
{\displaystyle \int _{0}^{\pi }P_{l}^{m}(\cos \theta )P_{k}^{m}(\cos \theta )\sin \theta \mathrm {d} \theta ={\frac {(l+m)!}{(l-m)!}}{\frac {2}{2l+1}}\delta _{kl}}
与勒让德多项式的关系
连带勒让德多项式可以由勒让德多项式求 m 次导得到:
P
l
m
(
x
)
=
(
1
−
x
2
)
m
/
2
P
l
(
m
)
(
x
)
{\displaystyle P_{l}^{m}(x)=(1-x^{2})^{m/2}P_{l}^{(m)}(x)}
等号右边的上标 (m ) 表示求 m 次导。
与超几何函数的关系
连带勒让德函数(即 l , m 不一定要是整数)可以用高斯超几何函数 表达为:
P
ν
μ
(
z
)
=
1
Γ
(
1
−
μ
)
(
z
−
1
z
+
1
)
μ
/
2
2
F
1
(
−
ν
,
ν
+
1
,
1
−
μ
,
1
−
z
2
)
{\displaystyle P_{\nu }^{\mu }(z)={\frac {1}{\Gamma (1-\mu )}}\left({\frac {z-1}{z+1}}\right)^{\mu /2}\,_{2}F_{1}(-\nu ,\nu +1,1-\mu ,{\frac {1-z}{2}})}
注意 μ 为正整数 m 时 1-μ 是伽玛函数 的奇点,此时等号右边的式子应该理解为当 μ 趋于 m 时的极限。
负数阶连带勒让德多项式
显然连带勒让德方程在变换 m →-m 下保持不变,传统上习惯定义负数阶连带勒让德多项式为:
P
l
−
m
(
x
)
=
(
−
1
)
m
(
l
−
m
)
!
(
l
+
m
)
!
P
l
m
(
x
)
,
m
=
1
,
…
,
l
;
l
∈
Z
+
{\displaystyle P_{l}^{-m}(x)=(-1)^{m}{\frac {(l-m)!}{(l+m)!}}P_{l}^{m}(x),\quad m=1,\ldots ,l;l\in \mathbb {Z} ^{+}}
容易验证,这样定义的连带勒让德多项式能够使得上面的正交关系可以推广到 m 为负数的情况。
注意在个别文献(如上面的图,以及球谐函数 一文)中会直接取
P
l
−
m
(
x
)
=
P
l
m
(
x
)
{\displaystyle P_{l}^{-m}(x)=P_{l}^{m}(x)}
本文不采用这种定义。
与球谐函数的关系
球谐函数是球坐标 下三维空间拉普拉斯方程 的角度部分的解,构成一组完备的基组,有着重要的意义。
采用本文中定义的连带勒让德多项式的表达式,球谐函数可以表达为:
Y
l
m
(
θ
,
ϕ
)
=
(
l
−
m
)
!
(
l
+
m
)
!
2
l
+
1
4
π
P
l
m
(
cos
θ
)
e
i
m
ϕ
{\displaystyle Y_{l}^{m}(\theta ,\phi )={\sqrt {{\frac {(l-m)!}{(l+m)!}}{\frac {2l+1}{4\pi }}}}P_{l}^{m}(\cos \theta )e^{im\phi }}
由连带勒让德多项式的正交关系可以直接得到球谐函数的正交关系:
∫
Y
l
m
(
θ
,
ϕ
)
Y
k
n
∗
(
θ
,
ϕ
)
d
Ω
=
δ
k
l
δ
m
n
{\displaystyle \int Y_{l}^{m}(\theta ,\phi )Y_{k}^{n*}(\theta ,\phi )\mathrm {d} \Omega =\delta _{kl}\delta _{mn}}
式中 dΩ 是立体角 元。
参考文献
^ 吴崇试. 16. 数学物理方法(第二版). 北京大学出版社 . [2003]. ISBN 9787301068199 .
Dunster, T. M., Legendre and Related Functions , Olver, Frank W. J. ; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (编), NIST Handbook of Mathematical Functions , Cambridge University Press, 2010, ISBN 978-0521192255 , MR 2723248