最短路径树

考虑一个连通无向图${\displaystyle G}$ ，一个以顶点${\displaystyle v}$ 为根节点的最短路径树${\displaystyle T}$ 是图${\displaystyle G}$ 满足下列条件的生成树——树${\displaystyle T}$ 中从根节点${\displaystyle v}$ 到其它顶点${\displaystyle u}$ 的路径距离，在图${\displaystyle G}$ 中是从${\displaystyle v}$ 到${\displaystyle u}$ 的最短路径距离。

在一个所有最短路径都明确（例如没有负长度的环）的连通图中，我们可以使用如下算法构造最短路径树：

1. 使用戴克斯特拉算法或贝尔曼-福特算法计算图 G 中从根节点 v 到 顶点 u 的最短距离${\displaystyle dist(u)}$ 
2. 对于所有的非根顶点${\displaystyle u}$ ，我们可以给${\displaystyle u}$ 分配一个父顶点 ${\displaystyle p_{u}}$ ，${\displaystyle p_{u}}$ 连接至u且 ${\displaystyle dist(p_{u})+edge\_dist(p_{u},u)=dist(u)}$ 。当有多个${\displaystyle p_{u}}$ 满足条件时，选择从v到${\displaystyle p_{u}}$ 的最短路径中边最少的${\displaystyle p_{u}}$ 。当存在零长度环的时候，这条规则可以避免循环。
3. 用各个顶点和它们的父节点之间的边构造最短最短路径树。

上面的算法保证了最短路径树的存在。像最小生成树一样，最短路径树通常也不是唯一的。

在所有边的权重都相同的时候，最短路径树和广度优先搜索树一致。在存在负长度的环时，从${\displaystyle v}$ 到其它顶点的最短简单路径不一定构成最短路径树。

• Cahn, Robert S. Wide Area Network Design. 1998. 

• 最短路径问题